级高等数学一阶微分方程.pptx

高等院校非数学类本科数学课程

——一元微积分学

大学数学（一）

第三十五讲一阶微分方程

第七章常微分方程

本章学习要求：

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.

了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方

程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分

方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.

会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.

知道下列高阶方程的降阶法：

了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线

性微分方程的解法.

熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.

掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余

弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方

程的解法.

第二节一阶微分方程

二、变量可分离方程

三、齐次方程

四、可化为齐次方程的方程

五、一阶线性微分方程

六、伯努利方程

请点击

一、一阶方程关系图

一、一阶微分方程关系图

变量可分离方程

齐次方程

可化为齐次方程的方程

一阶线性齐方程

一阶线性非齐方程

伯努利方程

变量代换

变量代换

变量分离

常数变易

变量代换

二、变量可分离方程

如果一阶微分方程可以化为下列形式：

则称原方程为变量可分离的方程。

运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：

其中C为积分后出现的任意常数。

将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。

例1

解

原方程即

对上式两边积分，得原方程的通解

例2

解

对上式两边积分，得原方程的通解

隐函数形式

经初等运算可得到原方程的通解为

你认为做完了没有？

原方程的解为

例3

解

两边同时积分，得

故所求通解为

你认为还需要讨论吗？为什么？

因为只求通解，所以不必再讨论了。

例4

解

原方程即

两边积分，得

故通解为

曲线族的包络。

工程技术中解决某些问题时，需要用到方程的奇解。

三、齐次方程

齐次方程

变量分离方程

变量代换

代入原方程，得

例5

解

于是，原方程化为

两边积分，得

即

四、可化为齐次方程的方程

齐次方程

可化为齐次方程的方程

变量代换

变量分离方程

变量代换

例6

解

于是，原方程变为

联立方程组

解之，得

可化为齐次方程的

可化为齐次方程的

两边积分，得

即

你由这个例题的解题过程想到什么了？

可化为齐次方程的方程

变量可分离方程

齐次方程

可化为齐次方程的方程

一阶线性齐方程

一阶线性非齐方程

伯努利方程

变量代换

变量代换

变量分离

常数变易

变量代换

五、一阶线性微分方程

形如

的方程称为一阶线性微分方程。

方程称为一阶线性齐方程。

方程称为一阶线性非齐方程。

习惯上，称

为方程

所对应的齐方程。

一阶线性齐方程的解

运用分离变量法，得

两边积分，得

故

表示一个

原函数

的解存在，且唯一，其通解为

例7

解

故该一阶线性齐方程的通解为

套公式！

例8

解

先求此一阶线性齐方程的通解：

故该初值问题的解为

变量可分离方程

齐次方程

可化为齐次方程的方程

一阶线性齐方程

一阶线性非齐方程

伯努利方程

变量代换

变量代换

变量分离

常数变易

变量代换

一阶线性非齐方程的解

比较两个方程：

请问，你有什么想法？

请问，你有什么想法？

我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点

什么东西呢？

行吗?!

怎么办？

故

即

上式两边积分，求出待定函数

以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。

例9

解

所以，方程的通解为

例10

解

不是线性方程

原方程可以改写为

这是一个以y为自变量的一阶线性非齐方程，其中

故原方程的通解为

变量可分离方程

齐次方程

可化为齐次方程的方程

一阶线性齐方程

一阶线性非齐方程

伯努利方程

变量代换

变量代换

变量分离

常数变易

变量代换

六、伯努利方程

形如

的方程称为伯努利方程。

代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程

于是，原方程的通解为

例11

解

故

从而，原方程的通解为

变量可分离方程

齐次方程

可化为齐次方程的方程

一阶线性齐方程

一阶线性非齐方程

伯努利方程

变量代换

变量代换

变量分离

常数变易

变量代换

下面举一例说明变量代换的重要性.

例12

解

变量代换

原方程即

于是，原方程化为

运用分离变量法，解得

故原方程的通解为

不是讲过的类型