数学分析在经济模型中的应用练习题.docVIP

数学分析在经济模型中的应用练习题

姓名_________________________地址_______________________________学号______________________

-------------------------------密-------------------------封----------------------------线--------------------------

1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。

2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。

一、选择题

1.下列哪个函数在区间[0,1]上单调递增？

a.f(x)=x^2

b.f(x)=2x1

c.f(x)=1/x

d.f(x)=e^x

2.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)=0，那么f(x)在区间[a,b]上的性质是什么？

a.一定有极值

b.一定有最大值

c.一定有最小值

d.没有确定的性质

3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，那么在区间[a,b]上是否存在某个c，使得f(c)=0？

a.存在

b.不存在

c.无法确定

d.需要更多信息

4.下列哪个函数在定义域内处处可导？

a.f(x)=x

b.f(x)=x^2

c.f(x)=e^x

d.f(x)=sin(x)

5.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)=0，那么f(x)在区间[a,b]上的性质是什么？

a.一定有极值

b.一定有最大值

c.一定有最小值

d.没有确定的性质

6.下列哪个函数在区间[0,1]上单调递减？

a.f(x)=x^2

b.f(x)=2x1

c.f(x)=1/x

d.f(x)=e^x

7.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，那么在区间[a,b]上是否存在某个c，使得f(c)=0？

a.存在

b.不存在

c.无法确定

d.需要更多信息

8.下列哪个函数在定义域内处处可导？

a.f(x)=x

b.f(x)=x^2

c.f(x)=e^x

d.f(x)=sin(x)

答案及解题思路：

1.答案：d

解题思路：在区间[0,1]上，e^x的增长速度超过x^2,2x1和1/x，因此单调递增。

2.答案：a

解题思路：根据费马定理，如果f(x)=0，那么x可能是极值点，所以函数可能有极值。

3.答案：a

解题思路：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，并且两端点函数值相等，那么在这个区间内至少存在一个点c，使得f(c)=0。

4.答案：b,c,d

解题思路：x^2,e^x和sin(x)在它们的定义域内处处可导，而x在x=0处不可导。

5.答案：a

解题思路：同第2题的解题思路，f(x)=0可能意味着x是极值点。

6.答案：c

解题思路：在区间[0,1]上，1/xx的增加而减小，因此它是单调递减的。

7.答案：a

解题思路：同第3题的解题思路，根据罗尔定理，一定存在c使得f(c)=0。

8.答案：b,c,d

解题思路：同第4题的解题思路，这些函数在它们的定义域内处处可导。

二、填空题

1.设函数\(f(x)=x^22x1\)，求\(f(x)\)的值。

解：函数\(f(x)=x^22x1\)是一个二次函数，对其求导得：

\[

f(x)=\frac{d}{dx}(x^22x1)=2x2

\]

2.求函数\(f(x)=3x^24x2\)在\(x=1\)处的导数。

解：对函数\(f(x)=3x^24x2\)求导，代入\(x=1\)：

\[

f(x)=\frac{d}{dx}(3x^24x2)=6x4\quad\text{因此}\quadf(1)=6(1)4=2

\]

3.设函数\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f(x)\)的值。

解：函数\(f(x)=\ln(x)\)的导数是：

\[

f(x)=\frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}

\]

4.求函数\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)处的导数。

解：函数\(f(x)=e^x\)的导数就是自身，代入\(x=0\)：

\[

f(x)=\frac{d}{dx