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备战2025年高考数学模拟试卷03（新高考全国Ⅱ卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知，则（????）.

A． B． C．2 D．1

2．集合，集合，则集合中元素的个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（????）种分配方式

A．540 B．660 C．980 D．1200

5．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

7．已知函数，设，则，，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

8．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（????）

A． B．展开式中的常数项为

C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为

10．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，为棱的中点，分别在棱上，且满足取得最小值．记四棱锥、三棱锥的体积分别为，则（????）

??

A． B． C． D．

11．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．以PQ为直径的圆与准线l相切

C．设，则

D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

由此可以判断下列各式正确的是（????）．

A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）

C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量在向量上的投影向量为，则．

14．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．

??

15．已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程.

16．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17．在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足

(1)求角；

(2)若的外接圆周长为，求边上的中线长.

18．若数列的前项和满足．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.

19．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．

(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：

性别

年龄

总计

满50周岁

未满50周岁

男

15

45

60

女

5

35

40

总计

20

80

100

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

根据小概率值的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；

在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？

20．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．

(1)证明：；

(2)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的正弦值．

21．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)若，求直线的方程．

22．已