矩阵最大线性无关向量组.pptVIP

定义１设有向量组A，如果在A中能选出r个向量

1,2,,r，满足

（1）向量组A0:1,2,,r线性无关；

（2）向量组A中任意r1个向量（如果A中有

r1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是

向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大

无关组）;最大无关组所含向量个数r称为向量组

的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定

它的秩为0.

二、矩阵与向量组秩的关系

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于

它的行向量组的秩.

证设，并设阶子式

A(a1,a2,,am)R(A)r,r

Dr0.根据4.2定理2由Dr0知所在的r列线性无

关；又由定A理中１所有r1阶子式均为零，知A中任意

r1个列向量都线性相关.因此Dr所在的r列是A

的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩

等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).

向量组的秩也记作

a1,a2,,amR(a1,a2,,am)

若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr

说明

所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，Dr

结论

所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.

（1）最大无关组不唯一;

（2）向量组与它的最大无关组是等价的.

例1全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的

一个最大无关组及Rn的秩.

解因为n维单位坐标向量构成的向量组

E:e1,e2,,en

是线性无关的，又根据4.2定理3的结论(3)知Rn

中的任意n1个向量都线性相关，因此向量组E

是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n.

例2设矩阵

21112



11214

A

46224



36979

求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不

属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.

解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵

11214



初等行变换01110

A，

~00013



00000

知R(A)3，

故列向量组的最大无关组含3个向量.

而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，

故为列向量组的一个最大无关组

a1,a2,a4,.