北师大版（2012）八年级下册 1.4 角平分线 教学设计.docxVIP

2025年

北师大版（2012）八年级下册

第一章1.4角平分线教学设计

一、教学目标

学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质.

本节课的教学目标为：

1、通过“探索—发现—猜想—证明”，进一步体会证明的必要性.

2、通过证明角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.

3、能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

教学重点：

正确地表述角平分线性质定理，角平分线判定定理及其证明.

教学难点：

能熟练的运用角平分线定理，角平分线判定定理解决问题.

二、教学活动

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：复习回顾

第二环节：探索新知

第三环节：学以致用

第四环节：巩固提升

第五环节：课时小结

第六环节：当堂检测

1、复习回顾

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：

从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，

即角平分线上的点到角两边的距离相等.

你能证明它吗？

【设计目的】通过复习知识，得到角平分线的性质，从而引导学生证明角平分线的性质，得到角平分线的性质定理.

2、探索新知

（1）引导学生证明性质定理

请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流.

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.

求证：PD=PE.

证明：∵OC是∠AOB的平分线

∴∠1=∠2

又∵点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°，

在△POD和△POE中，

∴△PDO≌△PEO（AAS）.

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.

我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

（2）你能写出这个定理的逆命题吗？

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.

引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.

它是真命题吗？你能证明它吗？

没有加“在角的内部”时，是假命题.

（由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导）

证明如下：

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.

证明：∵在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°，

在Rt△ODP和Rt△OEP中

∴Rt△ODP≌R△OEP（HL）

∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）.

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理.

【设计目的】通过三角形全等，将角平分线的性质以及逆命题进行证明，得到角平分线的性质定理和角平分线的判定定理，进一步发展学生的证明能力，从而达到学习目标1和学习目标2.

3、学以致用

综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题.进一步发展学生的推论证明能力.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范.

（1）已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

求证：EB=FC.

（2）已知：如图AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC=6，AB=4，AC=3，则线段DE的长为.

（3）如图，点P是锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°.

求证：BP平分∠ABC.

【设计目的】第1题和第2题直接从角平分线的性质解决问题，第3题从角平分线的性质定理解决角平分线的判定，让学生更加深刻的感知角平分线性质定理和判定定理的应用，从而达到学习目标3.

4、巩固提升

（1）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E.

求证：OD=OE.

（2）如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.

求证：OP是CD的垂直平分线.

【设计目的】两道题将本节课所学的角平分线性质定理和角平分线判定进一步运用到其他数学知识中，要求学生能够熟练掌握定理内容并且能够灵活运用解决问题，再一次将所学知识进行升华，进一步完成学习目标3.

5、课堂小结

这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决.

【设计目的】让学生