北京专用2025版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式及其应用练习含解析.docxVIP

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第四节基本不等式及其应用

学习要求:1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题.

1.基本不等式

(1)基本不等式ab≤a+b2成立的条件:a0,

(2)等号成立的条件:当且仅当①a=b时等号成立.?

(3)其中②?a+b2称为正数a,b的算术平均数,③?ab称为正数a,

2.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥④2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.?

(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a

(3)a2+b22≥a+b22(a,

(4)ba+ab≥2(a,b同号),当且仅当a=b

3.利用基本不等式求最值

已知x0,y0,则

(1)假如积xy是定值p,那么当且仅当⑤x=y时,x+y有最⑥小值,是⑦2p.(简记:积定和最小)?

(2)假如和x+y是定值s,那么当且仅当⑧x=y时,xy有最⑨大值,是?s24.(简记:和定积最大

学问拓展

利用基本不等式求最值的两个常用结论

(1)已知实数a,b,x,y0,若ax+by=1,则有1x+1y=(ax+by)·1x+1y=a+b+byx+axy≥a+b+2

(2)已知实数a,b,x,y0,若ax+by=1,则有x+y=(x+y)·ax+by=a+b+ayx+bxy≥a+b+2

【微点提示】1.应用基本不等式求最值要留意:“一正,二定,三相等”,忽视某个条件,就会出错.

2.在利用基本不等式求最值时,肯定要尽量避开多次运用基本不等式.若必需多次运用,则肯定要保证它们等号成立的条件一样.

1.推断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).

(1)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.

(2)函数f(x)=sinx+4sinx的最小值为4. (

(3)x0且y0是xy+yx≥2的充要条件. (

答案(1)?(2)?(3)?

2.(新教材人A必修第一册P48T1改编)已知x2,则x+4x-2的最小值是

A.2B.4C.22D.6

答案D

3.(新教材人A必修第一册P45例1改编)若x0,则x+1x (

A.有最小值,且最小值为2B.有最大值,且最大值为2

C.有最小值,且最小值为-2D.有最大值,且最大值为-2

答案D

4.(新教材人A必修第一册P46例3改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是m2.?

答案25

5.(易错题)已知4yx0,且x+4y-x≤my恒成立,求

解析易错缘由:忽视运用基本不等式的前提条件.

由题意知,当4yx0时,m≥x+4

∵x+4y-xy=xy+4-xy=xy+4-xy2=4+2xy4-x

利用基本不等式证明

典例1(2024课标全国Ⅰ,23,10分)已知a,b,c为正数,且满意abc=1.证明:

(1)1a+1b+1c≤a2+b2+

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

证明(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,abc=1,所以有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c,当且仅当a=b=c时,等号成立.所以1a+1b+1c

(2)因为a,b,c为正数且abc=1,

所以有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33

=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×2ab×2bc×2ac

=24,当且仅当a=b=c时,等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

名师点评

利用基本不等式证明不等式时,首先要视察题中要证明的不等式的形式.若符合基本不等式的条件,则干脆利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件,则对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到运用基本不等式的条件.

已知a0,b0,a3+b3=2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24·(a+b)=2+3(a+b)34,当且仅当a=b时,等号成立,所以(

利用基本不等式求最值

角度1利用配凑法求最值

典例2已知0x1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()

A.13B.12C.34

答案B

角度2利用常数代换法求最值

典例3已知正数a,b满意1a+9b=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对随意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 (

A