高考备考资料之数学人教A版全国用讲义第十二章概率随机变量及其分布123_1.docx

§12.3几何概型

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.

2.了解几何概型的意义.

以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式

P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度?面积或体积?,试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?).

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

4．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)

(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)

(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝eq\f(1,9).(×)

题组二教材改编

2．[P137思考]在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1

答案B

解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为eq\f(1,3).

3．[P140T1]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()

答案A

解析∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，

∴P(A)P(C)＝P(D)P(B)．

4．[P146B组T4]设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()

A.eq\f(π,4)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(4－π,4)

答案D

解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是eq\f(4－π,4)，故选D.

题组三易错自纠

5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________.

答案3

解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.

当0m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．

当2m4时，由题意得eq\f(m－?－2?,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.

6．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则|AM||AC|的概率为________．

答案eq\f(1,6)

解析设事件D为“作射线CM，使|AM||AC|”．

在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，

因为△ACC′是等腰三角形，

所以∠ACC′＝eq\f(180°－30°,2)＝75°，

事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，

构成事件总的区域μΩ＝90°，

所以P(D)＝eq\f(μD,μΩ)＝eq\f(15°,90°)＝eq\f(1,6).

题型一与长度、角度有关的几何概型

1．某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()

A.eq\f(1,3)B.eq