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专题3雨伞模型
模型:雨伞模型
【模型介绍】当一个线段出既是角平分线,又有垂直出时,如下图就需要添加辅助线,补齐等腰三角
形,形似雨伞,故美其名曰“雨伞模型”。
【模型分析】
1.(条件)AP是∠BAC的平分线,BO⊥AP;
2.(辅助线)延长BO交AC于D;
3.(结论)①△ABO≌△ADO,②AB=AD,③OB=OD
4.(核心点)模型识别:角平分线+垂直=延长—等腰三角形—雨伞模型
【证明】延长BO交AC于D,
在△BAO和△DAO中
∠BAO=∠DAO
AO=AO
∠AOB=∠AOD
∴△BAO≌△DAO,∴AB=AD,OB=OD;
【模型分层应用—基础】
1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE为AC边上的中线,AD平分∠BAC,交BC边于点
D,过点B作BF⊥AD,垂足为F,则∠EBF的度数为(ꢀꢀ)
A.19°B.33°C.34°D.43°
2.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD是△ABC的平分线,过B作BE⊥AD于点E,
交AC延长线于点F,则下列结论中正确的个数是(ꢀꢀ)
①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE.
A.2B.3C.4D.5
3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,与BC相交于点F,BE⊥AD,交AC延
长线于E,且垂足为D,H是AB边的中点,连接CH与AD相交于点G,则下列结论:①AF=BE;②AF
=2BD;③AG=BD;④AC+CF=AB;正确的有(ꢀꢀ)
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,BD⊥AE交AE延长线于点
1
D,DM⊥AC交AC的延长线于点M,连接CD.则下列结论:①∠ADC=45°;②BD=퐴퐸;③BC+CE
2
=AB;④AC+AB=2AM;⑤BD=CD其中不正确的结论有(ꢀꢀ)
A.3B.2C.1D.0
5.如图,在四边形ABCD中,E是边BC的中点,AE平分∠BAD,且∠AED=90°,若CD=2AB,AD=
18,则AB=ꢀꢀ.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,以AD为边作正方形
ADEF,过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G,连接FB交DE于点H,下列结论:
①∠BAF=∠GAF;②四边形CBFG是矩形;③AB=FH;④AF2=FH•BC
其中正确的结论有ꢀꢀ(把所有正确结论的序号都写在横线上)
【模型分层应用—综合】
1.已知,如图△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°,求证:
CE=2BD.
2.如图,∠B=∠C=90°,AB∥CD,∠BAD,∠ADC的平分线AE,DE相交于点E,过点E作直线AB,
DC的垂线,垂足分别为B,C.(1)求得∠AED的度数为ꢀ90°ꢀ;(2)求证:E为线段BC的中点;
(3)若S△ADE=8,S△DCE=2,求△ABE的面积.
3.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90,AD平分∠CAB,交BC于点D,点A与点E关于直线BC对称,
连接BE,CE,延长AD交BE于点F,过点B作B
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