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第五章留数

§5.1留数定理及留数的求法

§5.2用留数定理计算实积分

留数与解析函数在孤立奇点处的罗

朗展开式有密切的关系，应用留数定理

就可以比较容易地计算一些实函数的积

分。这些积分中的一部分，过去在实函

数中已经计算过，但比较复杂，这里将

用统一的方法来处理。

§5.1留数定理及留数的求法

一、留数的概念

fz

()

由积分定理知道，如果函数在

z0的邻域内解析，那末,ffzzddddzzz00

()

cc

其中c为z0的邻域内的任意一条简单闭曲线。

但若zfz

0为()的孤立奇点，那末ffzzddddzzz

cc()

一般不等于零，

其中c为0z−zR内任

0

一条包含z0的简单闭曲线。

事实上，若函数fz在孤立奇点z的去

()0

心邻域0z−z0R内解析，则它可在该去

心邻域内展开成Laurent级数

n

fzCC−−−1111+CCCC+CCCCzzz−zzzz++CCzzz−zzznn+

()+((()((()))

000111000nn0000

z−z

()

0

两端沿c逐项积分，注意到

2πi,n0

ddddzzz

cnnn+11

czz0,n0

z−z

()))

0

fzdz2πiC,

得c()−1由此可见，Laurent展开

−1

式中负一次幂项z−z的系数C是在逐