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第七节立体几何中的向量方法——求空
间角与距离
考试要求：1.能用向量方法解决点到直、点到平面、相互平行的直、相互
平行的平面的距离问题和简单夹角问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
X必备知识・回顾教材重“四基——
一、教材概念-结论-性质重现
1.两条异面直所成角的求法
设力分别是两异面直小/2的方向向量，则
/|与/2所成的角0a与力的夹角夕
范围0（,兀）
n_\ab\oab
求法COS0一।一c°s夕一同向
微提醒■■■
求两异面直/i,，2的夹角仇须求出它们的方向向量明力的夹角〈。，b〉,由
于夹角范围不同，有cos6=|cos〈。，b)|.
2.直与平面所成角的求法
设直/的方向向量为。，平面a的法向量为〃，直/与平面。所成的角为
。与〃的夹角为夕，则sin9=|cosM=^.
|U||/t|
微提醒■■■■
求直/与平面a所成的角仇可先求出平面a的法向量〃与直/的方向向量
。的夹角，则sin8=|cos〈〃，a)\.
3.二面角的平面角求法
(1)如图(1),AB,CO分别是二面角a-//的两个半平面内与棱/垂直的直，则
二面角的大小0=A§,CD).
(2)如图(2)(3),小，〃2分别是二面角a-//的两个半平直a,4的法向量，则二面
角9的大小满足|C0S9|=|C0S«1,112)|,二面角的平面角的大小是向量见与〃2
的夹甫(或其补角).
微提醒■■■“
利用平面的法向量求二面角的大小时，求出两平面a,夕的法向量〃1,〃2后，要
根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量/II,小的夹角
是相等，还是互补.一进一出相等，同进同出互补.
4.利用空间向量求距离
(1)点到直的距离
如图所示，
己知直/的单位方向向量为〃，A是直/上的定点，P是直/外一点，则点
2
P到直I的距离PO=^\AP^-(AP-u).
(2)点到平面的距离
如图所示，
已知A8为平面a的一条斜段，〃为平面。的法向量，则点8到平面。的距离
为40=骞.
微提醒■■■♦
求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜段.有
时利用等积法求解可能更方便.
二、基本技能-思想-活动经验
1.判断下列说法的止误，对的画“J”，错的回“X”.
⑴两直的方向向量所成的角就是两条直所成的角.
⑵直的方向向量和平面的法向量所成的角就是直与平面所成的角.(X
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