2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题（解析版）.docx

难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题

题型一：方程法求角度问题

题型二：分类讨论法求角度问题

题型三：A字模型

题型四：8字模型

题型五：飞镖（燕尾）模型

题型六：三角形折叠模型

题型七：双角平分线模型

题型一：方程法求角度问题

方程法的解题步骤

第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等

第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数

第三步：用所设角度表示出其他角度

第四步：通过列方程求解

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动．

??

【解决问题】

(1)在旋转过程中，请填出、之间的数量关系______；

(2)当运动时间为秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

(3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值．

【答案】(1)

(2)有，平分，平分，理由见解析

(3)，，，，

【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论；

（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解；

（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得的值．

【详解】（1）解：①如图，，理由如下：

由题意得，，．

∴

，

??如图，，理由如下：

由题意得，，．

∴

，

??

综上，．

故答案为：；

（2）解：有，平分，平分

如图所示，理由如下：

当运动时间为秒时，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴平分，

∵，

∴平分；

??

（3）解：由题意得，，．

当时，，

∴，解得；

当，在内部时，，

∴，解得；

当时，，

∴，解得；

当时，，

∴，解得；

当时，，

∴，解得；

综上，，，，，．

【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线在的内部，且，则是的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：

(1)如图1，，若是的内半角，则______，______．

(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值．

(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，请求出的值．

【答案】(1)，

(2)

(3)或或或

【分析】（1）本题主要考查了角的和差，先根据题意算出的度数，再利用即可解答；弄清楚角之间的关系是解题的关键；

（2）本题主要考查看旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值即可；掌握内半角的定义是解题的关键；

（3）本题主要考查了旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．掌握分类讨论思想是解题的关键．

【详解】（1）解：∵是的内半角，，

∴，

∴．

故答案为：，．

（2）解：由旋转性质可知：，

∴，

∵是的内半角，

∴，即，解得：．

∴的值为．

（3）解：①如图4：此时是的内半角，

由旋转性质可知：，

∴，

∵是的内半角，

∴，即，解得：；

②如图：此时是的内半角，

由旋转性质可得：，

∴，

∵是的内半角，

∴，即，解得：；

③如图所示，此时是的内半角，

由旋转性质可知：，

∴，

∵是的内半角，

∴，即，解得：；

④如图所示，此时是的内半角，

由旋转性质可知：，

∴，

∵是的内半角，

∴，即，解得：．

综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或或或．

【变式1-2】（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角．

根据以上信息，解决下面的问题：

(1)如图1，，若是的内余角，则______；

(2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值；

(3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值．

【答案】(1)

(2)的值为

(3)当射线构成内余角时，的值为秒或秒

【分