高考数学人教A版理科第一轮复习题高考大题专项练四.docx

高考大题专项练四高考中的立体几何

1.

(2017东北三省四市一模)如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=π3,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC

(1)证明:MN∥平面ABB1A1;

(2)求三棱锥B1ABC的高及体积.

2.

如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.

(1)求证:AF∥平面BDE;

(2)求证:CF⊥平面BDE;

(3)求二面角ABED的大小.

3.如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.

(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;

(2)若二面角PACE的余弦值为63,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值

4.

如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=2,∠CDA=45°.

(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.

(2)设AB=AP.

①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.

②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.

5.

如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,EA=ED,AE⊥平面CDE.

(1)求证:AB⊥平面ADE;

(2)设M是线段BE上一点,当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为223时,试确定点M

6.

(2017山东,理17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF的中点.

(1)设P是CE上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(2)当AB=3,AD=2时,求二面角EAGC的大小.

7.

如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.

(1)求证:MN∥平面ABCD;

(2)求二面角D1ACB1的正弦值;

(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13,求线段A1E的长

8.

如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°

(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;

(2)若二面角PCDA的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

答案：

1.(1)证明取AC中点P,连接PN,PM(图略),

∵在斜三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,

∴PN∥AB1,PM∥AA1.

∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN?平面PMN,AB1,AA1?平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1,

∵MN?平面PMN,

∴MN∥平面ABB1A1.

(2)解设O为AB的中点,连接B1O(图略),由题意知△B1BA是正三角形,

∴B1O⊥AB.

又侧面ABB1A1⊥底面ABC且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,

∴三棱锥B1ABC的高B1O=32AB=3

∵S△ABC=12×2×2×sin60°=3

∴三棱锥B1ABC的体积V=13×S△ABC×B1O=13×

2.(1)证明设AC与BD交于点G,

因为EF∥AG,且EF=1,

因为正方形ABCD边长AB=2,

所以AC=2,AG=12AC=

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以AF∥EG.

因为EG?平面BDE,AF?平面BDE,

所以AF∥平面BDE.

(2)证明因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.

如图,以C为原点,分别以CD,CB,CE的方向为x轴,y轴,z轴的正方向

则C(0,0,0),A(2,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),B(0,2,0),F

所以CF=22,22,1,BE

所以CF·BE=01+1=0,CF·DE=1+0+

所以CF⊥BE,CF⊥DE,

所以CF⊥平面BDE.

(3)解由(2)知,CF=22,22,1是平面

设平面ABE的法向量n=(x,y,z),

则n·BA=0,n·BE=0,

即(

所以x=0,z=2y.

令y=1,则z=2.

所以n=(0,1,2),

从而cosn,CF=n·

因为二面角ABED为锐角,

所以二面角ABED为π6

3.(1)证明在底面ABCD中,取AB的中点F,连接CF,由已知条件可知CF⊥CD.因为PC⊥平面ABCD,所以CF,CD,CP三条直线两两垂直,分别以CF,CD,CP为x轴,y轴,z轴建立空