考点01 空间向量的运算及应用-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）.docx

考点01空间向量的运算及应用

1、用已知向量表示未知向量的解题策略

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．

2、证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.

(1)；

(2)对空间任一点O，；

(3)对空间任一点O，．

3、证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面

(1)；

(2)对空间任一点O，；

(3)对空间任一点O，；

(4)∥(或∥或∥)．

4、空间向量数量积计算的两种方法

(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.

5、空间向量数量积的三个应用

求夹角

设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角

求长度(距离)

运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题

解决垂直问题

利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题

注：①当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；

②当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以

③立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝eq\r(a2)转化为向量求解．

6、空间向量的坐标运算

（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．

（2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么

①a±b＝．

②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，

④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，

⑥a∥b?(λ∈R)，

⑦a⊥b?.

（3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则

考点一空间向量的概念及其线性运算

1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.

①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

②是向量的必要非充分条件；

③向量、相等的充要条件是

④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.

【解析】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误；

根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确；

当、为相反向量时，显然满足，故③错误；

因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确.

故答案为：②④

2．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）下列命题中为真命题的是（????）

A．空间向量与的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

【解析】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，

对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，

对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，

对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，

故选：A

3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：

（1）的相等向量是______；

（2）的相反向量是______；

（3）的共线向量（平行向量）为______；

（4）模为的向量是______；

（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.

【解析】??（1）与相等的向量有，，.

（2）的相反向量为，，，.

（3）的共线向量（平行向量）为，，，.

（4）由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.

（5）因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面.

故答案为：（1），，；（2），，；（3），，，；（4），，，，，，，；（5）不共面.

4．（2022·重庆·高二期末）在长方体中，（????）

A． B． C． D．

【解析】在长方体中，易知，

所以.

故选：D.

5．（2022·全国·高