第07章-常微分方程的数值解法.pptVIP

第七章

常微分方程的数值解法;本章内容;本章要求;§7.1引言;一.问题提出

有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。;很多微分方程的解不能用初等函数来表示，有时即使能够用解析式表示其解，但计算量太大而不实用(表达式过于复杂)。

需要用数值方法来求解，一般只要求得到假设干个点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求满足即可)。;§7.1引言;§7.1引言;初值

问题

的

常见

解法;§7.1引言;§7.1引言;P230定理1;三.数值解法含义

所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值。

微分方程的数值解:设方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b],令a=x0x1…xn=b,其中hk=xk+1-xk,如是等距节点h=(b-a)/n,h称为步长。

由于y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到,我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk)的近似值,用yk表示,即yk≈y(xk),这样y0,y1,...,yn称为微分方程的数值解。;§7.2欧拉方法;一.欧拉〔Euler〕格式;左矩形;§7.2欧拉方法;P232;§7.2欧拉方法;?欧拉公式：/*Euler’sMethod*/;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;自己看看是不是;§7.2欧拉方法;;?中点欧拉公式/*midpointformula*/;;改进欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;§7.2欧拉方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;单步法：即利用前一个节点的函数值yi，计算后一个节点的函数值yi+1。

目的：建立高精度的单步递推格式。

单步递推法的根本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线到达(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能到达的最高精度为2阶。;斜率一定取K1K2

的平均值吗？;§7.3龙格—库塔方法;Step2:将K2代入第1式，得到;Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较;其中?i(i=1,…,m)，?i(i=2,…,m)和?ij(i=2,…,m;j=1,…,i?1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。;3阶龙格-库塔法;§7.3龙格—库塔方法;注：

?龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki的值，即计算f的值。Butcher于1965年给出了计算量与可到达的最高精度阶数的关系：;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;§7.3龙格—库塔方法;61;62;63;64;65;66;三阶Runge-Kutta方法;四阶(经典)Runge-Kutta方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;§7.4阿达姆斯方法;小结;作业与实验