福建专用2024年高考数学一轮复习考点规范练41双曲线抛物线含解析新人教A版..docxVIP

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考点规范练41双曲线、抛物线

一、基础巩固

1.双曲线x23-y2=1的焦点坐标是(

A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)

答案:B

解析:∵a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=3+1=4.∴c=2.

又焦点在x轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).

2.“k9”是“方程x225-k+y

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:∵方程x225

∴(25-k)·(k-9)0,∴k9或k25,

∴“k9”是“方程x225-k+

3.若双曲线x2a2-y2b2=1(

A.y=±2x B.y=±3x C.y=±22x D.y=±3

答案:A

解析:∵e=ca=3,∴c2

∵双曲线的焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±bax

∴渐近线方程为y=±2x.

4.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,C的焦点为F,则直线AF的斜率为()

A.-43 B.-1 C.-34 D.

答案:C

解析:由已知得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).

又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k=3-0

5.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(

A.13 B.12

答案:D

解析:由题意可知双曲线的右焦点为F(2,0),将x=2代入双曲线C的方程,得4-y23=1,解得y=±3.不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=12|PF|·|AP|=12×

6.(2024天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与

A.x24-y24=1 B

C.x24-y2=1 D.x2-y

答案:D

解析:∵双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4

∴-b=-ba且-b·ba=-1,∴a=1,b=1

7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上存在一点P,点P与坐标原点

答案:3+1

解析:由题意可知要使三角形OPF2为正三角形,则P12c,32c.因为点P在双曲线上,所以c24a2-3c24b2=1,结合b2=c2-a2及e=ca,化简得e4-8e2+4=0,解得e2=4+23或e2=4

8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.?

答案:6

解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).

又M为FN的中点,则M1

因为点M在抛物线C上,

所以a24=8,即a2=32,即a=±42.所以N(0,±4

所以|FN|=(2-0

9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点M(3,m)在双曲线上.

(1)求双曲线的方程;

(2)求证:MF1

(3)求△F1MF2的面积.

答案:(1)解∵e=2,∴a=b.∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6.

∴双曲线的方程为x2-y2=6.

(2)证明由题意知c=23,不妨设F1(-23,0),F2(23,0),

则MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-

∴MF1·MF2=(3+23)×(3-23)

∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2=3,∴MF1

(3)解∵△F1MF2的底边长|F1F2|=43,由(2)知m=±3,

∴△F1MF2的高h=|m|=3,∴S△F1M

10.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求

解:(1)由题意得直线AB的方程为y=22·x-p2,与y

消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8

(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,

从而A(1,-22),B(4,42).

设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22)

又y32=8x3,所以[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=