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均值不等式及其应用
驾驭基本不等式ab≤a+b2(a,b0).结合详细
新知初探·自主学习——突出基础性
学问点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐
标公式
1.数轴上两点之间的距离公式
一般地,假如A(a),B(b),则线段AB的长为____________.
2.中点坐标公式
假如线段AB的中点M的坐标为x.若a<b,如图所示,
则M为____________.
学问点二基本不等式
(1)重要不等式:对于随意实数a、b,都有a2+b2________2ab,当且仅当________时,等号成立.
(2)基本不等式:ab________a+b2(a>0,b>0),当且仅当________时,等号成立.其中a+b2和ab分别叫做正数a,
状元随笔基本不等式ab≤a+b2(a,b∈
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值,则ab≤M2
a=b时等号成立.即:a+b=M,M为定值时,(ab)max=M2
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值,则a+b≥2P,当且仅当a=b时等号成立.
基础自测
1.已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是()
A.a2+b2>2abB.a+b≥2ab
C.1a+1b>2ab
2.若a>1,则a+1a-1
A.2B.a
C.2a
3.(多选)下列不等式中,不正确的是()
A.a+4a≥4B.a2+b2≥4
C.ab≥a+b2D.x2+
4.已知x,y都是正数.
(1)假如xy=15,则x+y的最小值是________.
(2)假如x+y=15,则xy的最大值是________.
第1课时基本不等式
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1对基本不等式的理解[经典例题]
例1(1)下列不等式中,不正确的是()
1.举反例、基本不等式?逐个推断.
2.明确基本不等式成立的条件?逐个推断.
A.a2+b2≥2|a||b|
B.a2b≥2a-b(
C.ab2≥
D.2(a2+b2)≥(a+b)2
(2)给出下列命题:
基本不等式的两个关注点
(1)正数:指式子中的a,b均为正数,
(2)相等:即“=”成立的条件.①若x∈R,则x+1x
②若a<0,b<0,则ab+1ab
③不等式yx+xy≥2成立的条件是
跟踪训练1设0<a<b,则下列不等式中正确的是()
利用基本不等式时先要确定成立的条件,有的要适当变形处理.
A.a<b<ab<a+b
B.a<ab<a+b2<
C.a<ab<b<a+b
D.ab<a<a+b2<
题型2利用基本不等式求最值[教材P70例1]
例2已知x>0,求y=x+1x的最小值,并说明x为何值时y
【解析】因为x>0,所以依据均值不等式有
x+1x≥2x·
其中等号成立当且仅当x=1x,即x2=1,解得x=1或x
因此x=1时,y取得最小值2.
教材反思
1.利用基本不等式求最值的策略
2.通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法,即依据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
特殊提示:利用基本不等式求函数最值,千万不要忽视等号成立的条件.
跟踪训练2(1)已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()
A.16B.25
C.9D.36
(2)若正实数x,y满意x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值()
A.3B.4
C.92D.
状元随笔
1.绽开(1+x)(1+y)?将x+y=8代入?用基本不等式求最值.
2.利用基本不等式得x+2y+x+2y22-8≥0
易错点利用基本不等式求最值
例若正数x,y满意x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()
A.245B.
C.5D.6
错误的根本缘由是忽视了两次运用基本不等式,等号成立的条件必需一样.
【错解】由x+3y=5xy?5xy≥23xy,
因为x>0,y>0,所以25x2y2≥12xy,即xy≥1225
所以3x+4y≥212xy≥212·1225=
当且仅当3x=4y时取等号,
故3x+4y的最小值是245
【正解】由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+3
当且仅当x=1,y=12
故3x+4y的最小值是5.
【答案】C
2.2.4均值不等式及其应用
新知初探·自主学习
学问点一
1.AB=|a-b|
2.x=a+b
学问点二
(1)≥a=b(2)≤a=b算术平
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