2024年新教材高中数学第二章等式与不等式2.4.1基本不等式学案新人教B版必修第一册.docxVIP

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均值不等式及其应用

驾驭基本不等式ab≤a+b2(a，b0)．结合详细

新知初探·自主学习——突出基础性

学问点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐

标公式

1．数轴上两点之间的距离公式

一般地，假如A(a)，B(b)，则线段AB的长为____________．

2．中点坐标公式

假如线段AB的中点M的坐标为x.若a＜b，如图所示，

则M为____________．

学问点二基本不等式

(1)重要不等式：对于随意实数a、b，都有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．

(2)基本不等式：ab________a+b2(a＞0，b＞0)，当且仅当________时，等号成立．其中a+b2和ab分别叫做正数a，

状元随笔基本不等式ab≤a+b2(a，b∈

(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a＞0，b＞0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M2

a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝M2

(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a＞0，b＞0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，当且仅当a＝b时等号成立．

基础自测

1.已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是()

A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2ab

C．1a+1b＞2ab

2．若a＞1，则a＋1a-1

A．2B．a

C．2a

3．(多选)下列不等式中，不正确的是()

A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4

C．ab≥a+b2D．x2＋

4．已知x，y都是正数．

(1)假如xy＝15，则x＋y的最小值是________．

(2)假如x＋y＝15，则xy的最大值是________．

第1课时基本不等式

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1对基本不等式的理解[经典例题]

例1(1)下列不等式中，不正确的是()

1．举反例、基本不等式?逐个推断．

2．明确基本不等式成立的条件?逐个推断．

A.a2＋b2≥2|a||b|

B．a2b≥2a－b(

C．ab2≥

D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2

(2)给出下列命题：

基本不等式的两个关注点

(1)正数：指式子中的a，b均为正数，

(2)相等：即“＝”成立的条件．①若x∈R，则x＋1x

②若a＜0，b＜0，则ab＋1ab

③不等式yx+xy≥2成立的条件是

跟踪训练1设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()

利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．

A.a＜b＜ab＜a+b

B．a＜ab＜a+b2＜

C．a＜ab＜b＜a+b

D．ab＜a＜a+b2＜

题型2利用基本不等式求最值[教材P70例1]

例2已知x＞0，求y＝x＋1x的最小值，并说明x为何值时y

【解析】因为x＞0，所以依据均值不等式有

x＋1x≥2x·

其中等号成立当且仅当x＝1x，即x2＝1，解得x＝1或x

因此x＝1时，y取得最小值2.

教材反思

1．利用基本不等式求最值的策略

2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法，即依据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．

特殊提示：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．

跟踪训练2(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()

A．16B．25

C．9D．36

(2)若正实数x，y满意x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值()

A．3B．4

C．92D．

状元随笔

1．绽开(1＋x)(1＋y)?将x＋y＝8代入?用基本不等式求最值．

2．利用基本不等式得x＋2y＋x+2y22－8≥0

易错点利用基本不等式求最值

例若正数x，y满意x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()

A．245B．

C．5D．6

错误的根本缘由是忽视了两次运用基本不等式，等号成立的条件必需一样．

【错解】由x＋3y＝5xy?5xy≥23xy，

因为x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225

所以3x＋4y≥212xy≥212·1225＝

当且仅当3x＝4y时取等号，

故3x＋4y的最小值是245

【正解】由x＋3y＝5xy可得15y+35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y+3

当且仅当x＝1，y＝12

故3x＋4y的最小值是5.

【答案】C

2．2.4均值不等式及其应用

新知初探·自主学习

学问点一

1．AB＝|a－b|

2．x＝a+b

学问点二

(1)≥a＝b(2)≤a＝b算术平