高等数学教程 下册（第4版）课件：曲线积分与曲面积分.pptx

曲线积分与曲面积分;;定义1;;推广;(1)线性性质：;(3)保序性：;定理1;曲线方程的其他情形;推广;解;例3计算圆周曲线的质量.;对弧长的曲线积分的几何意义:;例4设椭圆柱面被z=y与z=0所截,求位;所求的柱面的侧面为;思考题设;及x轴在第一象限中所围图形的边界.;;常力沿直线所作的功;由第一型曲线积分定义;定义;类似地，定义空间向量函数;对坐标的曲线积分具有下列性质:;;定理;则;(3)对于空间曲线;;;解(1);B点对应;(2);解(1);问题:被积函数相同,起点和终点也相同,;解;其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.;;例如,是单连通区域，;设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成,;为便于记忆,格林公式可记做;由格林公式,得;解;解;则;?;;解;;;定理2;解;解;;其中C为任意常数.;此时,曲线积分与路径无关,;解1;解2因;解设;(1,0);曲面上各点处都有;任意取定的点,;定义;;对面积的曲面积分的性质:;(4)如果在曲面Σ上;若f关于变量z是奇函数,即;若f关于变量x是奇函数,即;若f关于变量y是奇函数,即;则;则;解;故;解;其中;解;;在;通常光滑曲面都有两侧.;上、下;曲面的方程为;曲面的方程;问题12.4(流量问题);简单情况;当流速不是常向量,或不是平面闭区域时,用积分思想研究流量问题.;求和,取极限,由对面积的曲面积分的定义,有;定义;对坐标y,z的曲面积分;第二型曲面积分的计算:概念产生方法;解;(1)当有向曲面的方程为时,有;右正,左负.;单个函数对坐标的曲面积分计算步骤;;解;法向量:;注意到:;解;解;方向向量:;一阶连续偏导数,;只需分别证明以下三式,即可完成定理证明.;;;于是;说明:若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴;;解;;;;故;Σ是锥面和球面及;由高斯公式;12.6.2通量与散度;可以理解为单位时间内穿过Σ流向指定侧的流量,;用Ω的体积V去除上式两端,得;即点M的源头强度.;定义12.6;散度是通量对体积的变化率,体现了流速场

在点向外散发流体的能力.;高斯公式可写成;例4求向量场;12.7Stokes公式环流量与旋度;定理(Stokes公式);???三阶行列式按第一行展开便得到Stokes公式.;根据两类曲面积分的关系,斯托克斯公式可写成;Stokes公式的实质;;;;定义1;等式右端的曲面积分可解释为向量;定义2;利用Hamilton算子,旋度可表示为;Stokes公式的物理意义是:;解;若f关于变量z是奇函数,即;若f关于变量x是奇函数,即;若f关于变量y是奇函数,即;例计算其中是球面;解;由对称性;;;1.计算;解;积分曲面;解设;得;补充:第一型曲线积分的对称性质;2.设积分曲线L关于x轴对称.;例计算其中L是圆周;解1;解2;解;例3计算;取折线段ANB为积分路径;例4设为可微函数,且若曲线积分;即;内具有一阶连续导数,;;练习题;解;证设;取;5.已知平面区域;故;练习确定常数;令两者相等,得