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与导数的应用
罗尔中值定理
推广
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研究函数性质及曲线性态
应用
利用导数解决实际问题
第一节
中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
二、拉格朗日中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
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一、罗尔(Rolle)定理
费马(fermat)引理
yf(x)在(x0)有定义,
f(x0)0
且f(x)存在
f(x)f(x0),0y
(或)
证:设x0x(x0),f(x0x)f(x0),
ox0x
则f(x0x)f(x0)
f(x0)lim
x0x
f(x0)0(x0)
f(x)0
0
f(x0)0(x0)证毕
费马目录上页下页返回结束
y
罗尔(Rolle)定理yf(x)
yf(x)满足:
在区间上连续
(1)[a,b]o
ax
(2)在区间(a,b)内可导b
(3)f(a)=f(b)
在(a,b)内至少存在一点,使f()0.
证:因f(x)在[a,b]上连续,故在[a,b]上取得最大值
M和最小值m.
若M=m,则f(x)M,x[a,b],
因此(a,b),f()0.
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若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,
不妨设Mf(a),则至少存在一点(a,b),使
f()M,则由费马引理得f()0.
注意:
1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,
y
x,0x1
f(x)
0,x1
o1x
yy
f(x)xf(x)x
x[1,1]x[0,1]
1o1xo1x
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2)定理条件只是充分的.本定理可推广为
yf(x)在(a,b)内可导,且
limf(x)limf(x)
xaxb
在(a
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