高等数学上册（第三版）课件：导数应用.pptx

微分中值定理

与导数的应用

罗尔中值定理

推广

中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式

柯西中值定理(第三节)

研究函数性质及曲线性态

应用

利用导数解决实际问题

第一节

中值定理

一、罗尔(Rolle)定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西(Cauchy)中值定理

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一、罗尔(Rolle)定理

费马(fermat)引理

yf(x)在(x0)有定义,

f(x0)0

且f(x)存在

f(x)f(x0),0y

(或)

证:设x0x(x0),f(x0x)f(x0),

ox0x

则f(x0x)f(x0)

f(x0)lim

x0x



f(x0)0(x0)

f(x)0

0

f(x0)0(x0)证毕

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y

罗尔（Rolle）定理yf(x)

yf(x)满足:

在区间上连续

(1)[a,b]o

ax

(2)在区间(a,b)内可导b

(3)f(a)=f(b)

在(a,b)内至少存在一点,使f()0.

证:因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.

若M=m,则f(x)M,x[a,b],

因此(a,b),f()0.

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若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,

不妨设Mf(a),则至少存在一点(a,b),使

f()M,则由费马引理得f()0.

注意:

1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,

y

x,0x1

f(x)

0,x1

o1x

yy

f(x)xf(x)x

x[1,1]x[0,1]

1o1xo1x

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2)定理条件只是充分的.本定理可推广为

yf(x)在(a,b)内可导,且

limf(x)limf(x)



xaxb

在(a