线性代数综合练习题三.pptVIP

线性代数综合练习题（三）一、填空题：解：把行列式按第一列展开第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵的元素为A的3阶子式，故为零矩阵，所以0。3、设向量组的秩为2，则t=;解：对下面矩阵施行初等行变换因为的秩为2，所以A的秩也为2，故4、已知n阶可逆阵A的任意行和等于2，则的一个特征值为；解：因为A的任意行和为2，所以即2为A的一个特征值，为对应的特征向量，所以5为的一个特征值。5、设A，B均为n阶方阵，且所以答案为。则解：二、选择题1.设线性相关线性无关,则正确的结论是线性相关线性无关线性表示线性表示答:正确的结论为C.2、设为正定二次型，则t的取值范围解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即解得所以选(c).3、设A为矩阵，B为矩阵，则下面结论正确的是。解：因为AB为m阶方阵，当时，有所以选(b).所以为对称矩阵。正交阵；(b)对称阵;(c)可逆阵；(d)正定阵。4、A为n阶方阵，则必为解：1设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是2ACB=E;(b)CBA=E;(c)BAC=E;(d)BCA=E.3解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的逆矩阵为BC，因此有4BCA=E，故选(d).6、已知A为正交矩阵，则为(a)1;(b)-1;(c)0;(d)–1或1。解：因为A为正交矩阵，所以有即故选(d).三，计算下面各题：解:其中均为三维行向量.且1.设三阶矩阵求2、验证是的一个基，并将用该基线性表示。解：因为是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵A与单位矩阵E等价，而由它们线行表示，就是求方程组的解，因此对矩阵施行初等行变换所以线性无关，即为的一个基，且由线性表示为3、四元非齐次线性方程组AX=b,且R(A)=2,已知是它的三个解向量，求其通解。其中为AX=b的一个特解，由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且R(A)=2,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量，解：为AX=b的解，(其中为任意实数)为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为4、设二阶方阵A满足求An。解：由已知得5、设向量组A：求：秩及一个极大无关组(写出计算过程)。解：由为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换，为一个极大无关组。所以，秩为3，解：对增广矩阵B=(Ab)施行初等行变换3设线性方程组1判断其相容性，若相容，求出其所有解。2可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为取为自由未知量，得方程组的所有解为(其中c为任意实数)。五、设方阵问：A是否可以对角化，若可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使即A能对角化；解特征方程得A的特征