高等数学上册（第2版）课件：函数的单调性和极值.ppt

函数的单调性和极值

一、函数单调性的判定法

二、函数的极值及其求法

三、最大值与最小值问题

一、函数单调性的判定法

定理1.设函数f(x)在开区间I内可导,若

f(x)0(f(x)0),则f(x)在I内单调递增(递减).

任取

证:无妨设f(x)0,xI,x1,x2I(x1x2)

由拉格朗日中值定理得

f(x2)f(x1)f()(x2x1)0

(x1,x2)I

故

f(x1)f(x2).这说明f(x)在I内单调递增.

证毕

例1.确定函数yxsinxx(0,2)

的单调性

解:f(x)1cosx0y

故f(x)在(0,2)上

为单调递增函数。

ox

例2.确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间.

解:f(x)6x218x126(x1)(x2)

令f(x)0,得x1,x2

x(,1)1(1,2)2(2,)

f(x)00

f(x)21

y

2

故f(x)的单调增区间为(,1),(2,);

1

的单调减区间为

f(x)(1,2).o12x

例3确定函数f(x)(x1)2(x1)3

的单调区间。

解：定义域为(,),

f(x)2(x1)(x1)3(x1)23(x1)2

(x1)(x1)2(5x1)

令，解得驻点1

f(x)0x11,x2,x31,

5

1

单增区间：(,)，(1,)

5

1

单减区间：(,1)

5

说明:

•单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.

例如,y3x2,x(,)y

y3x2

2

yy

33xx0

2)如果函数在某驻点两边导数同号,ox

y

则不改变函数的单调性

.yx3

例如,yx3,x(,)