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《勾股定理》学历案

一、学习主题

勾股定理是数学中非常重要的一个定理，我们将围绕勾股定理展开学习，包括它的历史渊源、定理内容、证明方法以及实际应用等方面。

二、学习目标

1、知识与技能

理解勾股定理的概念，能准确表述勾股定理的内容。

掌握勾股定理的几种常见证明方法，如赵爽弦图证明法、毕达哥拉斯证明法等。

能够运用勾股定理解决简单的几何问题，如已知直角三角形的两边求第三边等。

2、过程与方法

通过对勾股定理历史的探究，感受数学文化的魅力，提高对数学学习的兴趣。

在勾股定理证明的学习过程中，培养逻辑推理能力和空间想象能力。

通过实际应用勾股定理解决问题，提高数学建模能力和解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观

体会数学在人类文明发展中的重要作用，增强民族自豪感（如中国古代在勾股定理研究方面的卓越成就）。

在探索勾股定理的过程中，培养勇于探索、敢于创新的精神。

三、学习重难点

1、学习重点

勾股定理的内容及证明。

勾股定理在实际问题中的应用。

2、学习难点

勾股定理的证明，尤其是理解证明过程中的逻辑关系和几何变换。

如何将实际问题转化为勾股定理的数学模型，准确找到直角三角形的三边关系。

四、学习资源

1、教材：数学教材中关于勾股定理的章节，其中包含定理的阐述、证明示例以及练习题。

2、网络资源：可以有哪些信誉好的足球投注网站到勾股定理相关的历史故事、多种证明方法的动画演示以及实际应用案例的网站。

3、教具：制作直角三角形的模型，用于直观地展示勾股定理中的三边关系。

五、学习过程

1、勾股定理的历史

在中国，早在周朝时期，就有“勾三股四弦五”的记载。古代数学家商高提出了“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的一个特殊情况的描述。后来，三国时期的赵爽对勾股定理进行了详细的注释和证明，他创制了“勾股圆方图”，也就是我们所说的赵爽弦图。赵爽弦图通过对大正方形面积的两种不同计算方法，巧妙地证明了勾股定理。

在西方，古希腊数学家毕达哥拉斯也发现了这个定理。传说他在朋友家做客时，观察到地面上铺的正方形大理石砖，以等腰直角三角形斜边为边长的正方形面积等于以两直角边为边长的正方形面积之和，从而发现了勾股定理。由于毕达哥拉斯学派在当时的影响力，这个定理在西方也被称为毕达哥拉斯定理。

从古至今，勾股定理在不同的文明和地域中都有各自的发展历程，这充分说明了它的重要性和普遍性。

2、勾股定理的内容

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。这个公式简洁地表达了直角三角形三边之间的数量关系。例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么根据勾股定理，斜边的平方等于32+42＝9＋16＝25，所以斜边c＝5。

3、勾股定理的证明

（1）赵爽弦图证明法

我们来看赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c）和一个小正方形组成的大正方形。

大正方形的边长为c，其面积可以表示为c2。

同时，大正方形的面积也可以看作是四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。四个直角三角形的面积为4×（1/2)ab＝2ab，中间小正方形的边长为(ba)，其面积为(ba)2＝b22ab＋a2。

所以大正方形的面积又可以表示为2ab＋b22ab＋a2＝a2＋b2。

由于大正方形的面积两种表示方法相等，所以a2＋b2＝c2，证明了勾股定理。

（2）毕达哥拉斯证明法

对于等腰直角三角形，设直角边为a，斜边为c。

我们以这个等腰直角三角形为基础构建一个大正方形。大正方形的边长为(a＋b)，其面积为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。

这个大正方形内部包含了四个等腰直角三角形和一个小正方形。四个等腰直角三角形的面积为4×（1/2)a2＝2a2，小正方形的边长为c，其面积为c2。

所以大正方形的面积又可以表示为2a2+c2。

由于大正方形面积的两种表示相等，即a2＋2ab＋b2＝2a2+c2，又因为在等腰直角三角形中b＝a，化简可得a2+a2＝c2，即2a2＝c2，对于一般的直角三角形也可以通过类似的构造方法证明a2＋b2＝c2。

4、勾股定理的应用

（1）在几何计算中的应用

已知直角三角形的两条边，求第三条边是勾股定理最基本的应用。例如，已知一个直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另一条直角边。设另一条直角边为x，根据勾股定理x2+52＝132，即x2＝13252＝16925＝144，所以x＝12。

在一些复杂的几何图形中，如果能够找到直角三角形，也可以利用勾股定理进行计算。比如在一个梯形中，已知梯