圆锥曲线中轨迹问题--曲线与曲线的方程 归纳练 2025年高考数学二轮复习备考.docxVIP

圆锥曲线中轨迹问题--曲线与曲线的方程归纳练

2025年高考数学二轮复习备考

一、单选题

1．已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（???）

A．当时，的轨迹为直线（去掉，两点）

B．当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点）

C．当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点）

D．当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点）

2．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

3．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

4．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（????）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

5．在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（????）

A． B． C． D．

6．已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

7．设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为（????）

A． B．

C． D．

8．已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（????）

A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线

C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆

10．已知，，，，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（???）

A． B．

C． D．

11．在平面直角坐标系中，已知两定点，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，其中，．下列选项正确的是（????）

A．当时，动点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，且除去，两点

B．当时，动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且除去，两点

C．当且时，动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去，两点

D．当，时，动点的轨迹为曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，则

12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，已知点在侧面上运动，点在底面上运动，则下列说法正确的是（????）

A．若点到的距离等于其到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分

B．若，则点的轨迹为圆的一部分

C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆的一部分

D．若与平面所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分

三、填空题

13．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为.

14．过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为．

15．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为2，，侧棱长，点为四边形内动点，若，则点的轨迹长为．

16．在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为．

四、解答题

17．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点.

(1)若直线过点，且向量与向量共线，求直线的方程；

(2)若，且抛物线在点处的两条切线相交于点，求的轨迹方程.

18．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左?右焦点，分别为椭圆的上?下顶点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点.

（i）设的面积分别为，若，求的最大值；

（ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程.

19．已知双曲线，点在上，过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，记线段的中点的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)过的直线与有且只有一个公共点，且与交于两点．

证明：（ⅰ）；

（ⅱ）．

参考答案

1．C

设，由条件求出的轨迹方程，根据的取值范围确定轨迹的形状即可．

设，由，的斜率之积等于，

得，即，

当时，方程为，

∴的轨迹是圆（去掉，两点），故A错误；

当时，方程为，且，

∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故B错误；

当时，方程为，且，

∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故C正确；

当时，方程为，且，

∴的轨迹为双曲线（去掉，两点），故D错误．

故选：C．

2．B

设，，由题意可得，代入曲线中即可得.

设，则有，设，

则，由，则有，

即，故有，即.

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