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任意四边形、梯形与相似模型
模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理”):
①S]:S2=S4:S3或者S、xS3=S?xS4
②4O:OC=(S+S2):(S4+SJ
蝴蝶定理为我提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形被对角线ZG8。分成四分部分,△
力。8面积为1平方千米,△8OC面积为2平方千米-8。的面积为3平方千米,公园由陆地面积
是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
【分析】根据蝴蝶定理求得=3x1+2=1.5平方千米,公园四边形A8CD的面积是1+2+3+1.5=7.5平
方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:⑴三角形8GC的面积;2()AG:GC=?
【解析】1(根)据蝴蝶定理,S88X1=2X3,那么5噜=6;
⑵根据蝴蝶定理,AG:GC=(l+2):3(+6)=l:3.(???)
【例2】四边形A4C。的对角线AC与4。交于点。(如图所示)。如果三角形反。的面积等于三角形灰?。的
面积的,,且AO=2,DO=3,么CO的长度是DO的长度的________倍。
3
【解析】在本题中,四边形A3CD为任意四边形,对于这种不良四边形”,无外乎两种处理方法:Q利)用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条
件S;:S8皿=1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢于是得出一种解法。又观察题目中给出的已
(
知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改
造这个不良四边形”,于是可以作A垂直加>于”,CG垂直8。于G,面积比转化为高之比。
再应用结论:三角形高唱同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使
学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解IS-::AO:OC=SBD:SM=1:3,
AADC
.-.OC=2x3=6,
「.r:。力=6:3=2:l.
解法二:作加/,以)于〃,CG上BD于G.
,SBD~Q^ABCD•
AAH=-CG,
3
…SMOD=§^MX)C,
AO=-CO,
3
.-,OC=2x3=6,
..OC:Or)=6:3=2:l.
【例3】如图,平行四边形A3CD的对角线交于O点,4OEF
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