小学几何五大模型(蝴蝶模型).pdfVIP

任意四边形、梯形与相似模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”）:

①S]:S2=S4:S3或者S、xS3=S?xS4

②4O:OC=(S+S2):(S4+SJ

蝴蝶定理为我提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形被对角线ZG8。分成四分部分，△

力。8面积为1平方千米，△8OC面积为2平方千米-8。的面积为3平方千米，公园由陆地面积

是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【分析】根据蝴蝶定理求得=3x1+2=1.5平方千米，公园四边形A8CD的面积是1+2+3+1.5=7.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形8GC的面积；2（）AG:GC=?

【解析】1（根）据蝴蝶定理，S88X1=2X3，那么5噜=6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC=（l+2）:3（+6）=l:3.（???）

【例2】四边形A4C。的对角线AC与4。交于点。（如图所示）。如果三角形反。的面积等于三角形灰?。的

面积的,，且AO=2,DO=3,么CO的长度是DO的长度的________倍。

3

【解析】在本题中,四边形A3CD为任意四边形，对于这种不良四边形”，无外乎两种处理方法：Q利）用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条

件S;：S8皿=1：3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢于是得出一种解法。又观察题目中给出的已

（

知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改

造这个不良四边形”，于是可以作A垂直加＞于”,CG垂直8。于G,面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高唱同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使

学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解IS-：：AO：OC=SBD：SM=1：3,

AADC

.-.OC=2x3=6,

「.r：。力=6：3=2:l.

解法二：作加/，以）于〃,CG上BD于G.

,SBD~Q^ABCD•

AAH=-CG,

3

…SMOD=§^MX）C,

AO=-CO,

3

.-，OC=2x3=6,

..OC:Or）=6:3=2:l.

【例3】如图，平行四边形A3CD的对角线交于O点，4OEF