第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末题型大总结（解析版）.docx

第八章向量的数量积与三角恒等变换章末题型大总结

题型01求向量的数量积

解题锦囊

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求数列最大(小)项的方法

（1）定义法：根据向量的模与夹角计算求解；

（2）基向量法：将求数量积的向量用已知模或夹角的向量线性表示，再根据数量积的运算律求解；

（3）坐标法：根据图像特点，建立直角坐标系，结合数量积的坐标运算求解.

【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（????）

A．10 B．20 C．22 D．25

【答案】B

【分析】由平面向量的坐标表示、结合向量的数量积运算即可求解.

【详解】

以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则，，

则，，所以．

故选：B．

【变式1】（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，在中，已知为中点，则（????）

A． B． C． D．7

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算得解.

【详解】在中，由为中点，得，

所以.

故选：C

【变式2】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则.

【答案】12

【分析】利用平面向量的线性运算用表示，再进行数量积运算即可.

【详解】依题意，

因为三角形是等边三角形，

.

故答案为：12.

【变式3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则.

【答案】/2.5

【分析】利用勾股定理得到，然后根据数量积的几何意义得到在上的投影的数量等于，从而得到，然后利用三角函数得到，最后利用勾股定理计算即可.

【详解】

正方形的边长为2，点为边的中点，

，

，

在上的投影的数量为.

所以，所以，

所以，所以，

所以，

所以，

.

故答案为：.

【变式4】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得.

【详解】在中，点在线段上，且，

则，

，而，因此，

即，所以.

故选：A

题型02求向量的投影向量

解题锦囊

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已知非零平面向量，向量是与同向的单位向量，则向量在上的投影向量：

【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用投影向量公式计算即可.

【详解】因为，，

所以在上的投影向量为

故选：C.

【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出向量的单位向量，然后利用投影向量公式求解即可.

【详解】设向量是与同向的单位向量，则，

则向量在方向上的投影向量为.

故选：D

【变式2】（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（???）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】利用投影向量的定义可得，代入坐标计算可求得.

【详解】向量在方向上的投影向量为，

所以，解得.

故选：A.

【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（???）

A．2 B．0 C． D．

【答案】C

【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案.

【详解】因为向量在向量上的投影向量是，

所以，化简得，

因为，所以，

解得.

故选：C,

【变式4】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】由已知，

在方向上的投影向量为.

故选：A．

【变式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.

【详解】在直角梯形中，且，过作于，

则，故，从而.

因此，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：C

题型03向量的夹角问题

解题锦囊

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（1）向量的夹角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.

（2）两个向量a，b的夹角为锐角?a·b0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角?a·b0且a，b不共线；

【典例3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，，满足，，则（??