2025年初中数学建模秘籍半角模型与旋转技巧全解析手册.doc

【半角模型】

1、如图，点M、N分别為正方形ABCD边BC、CD上的动点，且∠MAN=45°，连接对角线BD分别交AM、AN于点E、F.

初一：（1）BM、DN、MN的数量关系；（2）证明AN平分∠MND；（3）若AB=4，求△MNC周長

初二：（1）BE、DF、EF的数量关系；（2）证明；（3）若AB=5，，求BM的長

初三：（1）连接MF，证明AF=MF；（2）证明；（3）若，求的值

2、如图，△BCD為正三角形，△ABD為等腰三角形且∠BAD=120°，点M、N分别為边BC、CD上的动点，且∠MAN=60°，BD分别交AM、AN于点E、F.

初一：（1）BM、DN、MN的数量关系；（2）证明AN平分∠MND；（3）若BD=4，求△MNC周長

初二：（1）若BE=2，DF=4，求EF的長；（2）证明；（3）若AB=5，，求BM的長

初三：（1）连接MF，证明AF⊥MF；（2）证明；（3）若，求的值

3、如图，△ABD為正三角形，△CBD為等腰三角形且∠BCD=120°，点M、N分别為边BC、CD上的动点，且∠MAN=30°，BD分别交AM、AN于点E、F.

初一：（1）BM、DN、MN的数量关系；（2）证明AN平分∠MND；（3）若BC=4，求△MNC周長

初二：（1）若BE=4，DF=2，求EF的長；（2）证明；（3）若AB=9，BE=3，求BM的長

初三：（1）连接MF，证明AF⊥MF；（2）证明；（3）若，求的值

【旋转原理】

1、如图，等腰△ABC中，AB=AC.

（1）如图1，∠BDC=∠BAC=60°，猜测DA、DB、DC数量关系并证明；

（2）如图2，∠BDC=∠BAC=90°，猜测DA、DB、DC数量关系并证明；

（3）如图2，∠BDC=∠BAC，猜测DE、DB、DC数量关系并证明；

2、如图，等腰△ABC中，AB=AC.

（1）如图1，∠BAC=60°，∠BDC=120°，猜测DA、DB、DC数量关系并证明；

（2）如图2，∠BDC=∠BAC=90°，猜测DA、DB、DC数量关系并证明；

（3）如图2，∠BAC=120°，∠BDC=60°，猜测DA、DB、DC数量关系并证明；

（4）如图4，∠BDC+∠BAC=180°，证明AD平分∠BDC.

【对称中心】

1、如图，△ABC是等边三角形，点E、F為直线BC、AC上的动点，且BE=CF，连接AE、BF.

（1）如图1，当点E、F分别在边BC、CA上時，求直线AE、BF的夹角；

（2）如图2，当点E、F分别在边BC、CA的延長线上時，直线AE、BF的夹角大小与否变化？

（3）如图3，当点E、F分别在边BC、CA上時，以AB為边作等边△ABD.

①连接DG，直接写出∠DGA的度数以及GA、GB、GD的数量关系；

②作DH⊥AG于点H，猜测GA、GB、GH数量关系并证明；

③在②的条件下且H在菱形ADBC内部，若AG=8，，求菱形ADBC的面积.

2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G分别為边AD、BC、CD上的动点，连接BG、EF，若BG⊥EF，求证BG=EF；

（2）如图2，在菱形ABCD中，∠B＜90°，E、F分别為边CD、BC上的动点，连接AE、DF交于点G，若∠AGF=∠B，且DE：CF=2：3，试猜测AE与DF的数量关系并证明；

（3）如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别為边CD、DE上的动点，若CM=DN，求∠BGN的度数；

（4）如图4，在正六边形ABCDEF中，M、N分别為边CD、DE上的动点，若CM=DN，求∠AGN的度数；

【头动手拉手】

1、如图，四边形ABCD為正方形.

（1）如图1，E為BC边上一动点，连接AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F，求证AE=EF；

（2）如图2，E為对角线AC上一动点，连接DE，作EF⊥DE交边BC于点F，证明DE=EF；

（3）如图3，在（2）的条件下，作FM⊥AC于点M，证明AC=2EM.

2、如图，△ABC為等腰三角形，AB=AC，E是BC边上一点，CF//AB，连接AE、CF，∠AEF=∠BAC.

（1）如图1，若∠BAC=60°，证明AE=EF；

（2）如图2，若∠BAC=90°，证明AE=EF；

（3）如图3，若EF平分∠AEC交AC于点G，连接AF，证明AF=AG并阐明CF、CG、CA的数量关系.

【头定手拉手】

1、（1）如图1，△ABC為等边三角形，D、M、N分别為AB、BC、AC中点，以D為顶点作等边△DEF，顶点E恰好在CB延長线上.

①如图1，连接MF，证明MF//AB；②如图2，连接NF，证明NF通过点M，EM=NF.

如图3，△ABC為等腰直角三角形，D為边AB上一点，以D為直角顶点作等腰直角△DEF，顶点E恰好在边BC上.

①如