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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如果是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是(????)
A. B.
C. D.
2.已知平面向量,且,则(????)
A. B. C. D.3
3.在中,,则(????)
A.或 B. C.或 D.或
4.甲船在B岛正南方向的A处,AB=10km,若甲船以4km/h的速度向正北方向航行,同时,乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是(????)
A.h B.h
C.h D.h
5.如图,在中,设,则(????)
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足,且,则是(????)
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形
7.点在边长为的正三角形的外接圆上,则的最大值为(???)
A. B. C. D.
8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义.若两个非零的平面向量和,满足与的夹角,且和都在集合中,则=
A. B. C.1 D.
二、多选题
9.已知为坐标原点,点,,,,则(????)
A. B.
C. D.
10.已知点是所在平面内一点,下列命题正确的是(????)
A.若,则点是的重心
B.若点是的外心,则
C.若,则点是的垂心
D.若点是的垂心,则
11.在中,,(为常数),的最大值为12,则(????)
A.为锐角 B.面积的最大值为8
C. D.周长的最大值为
三、填空题
12.已知是两个单位向量,若在上的投影向量为,则与的夹角为.
13.正方形的边长为,是的中点,是边上靠近点的三等分点,与交于点,则的余弦值为.
14.英国数学家泰勒发现了如下公式:
,
,
其中,
(1).
(2)已知在中,,边,则面积的最大值为.
(以上两空均用小数作答,且精确到0.001)
四、解答题
15.已知向量,.
(1)当,求的值;
(2)当取得最大值时,是否存在实数,使,若存在请求出的值;若不存在,请说明理由.
16.记的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知,
(1)求B;
(2)若的面积为,求c.
17.已知的内角的对边分别为,且.
(1)求;
(2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围.
18.某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道,BE为景点电动车专用道,,,,.
(1)求景点电动车专用道BE的长;
(2)由于受资金的限制,折线步行道BAE(即)不能超过20km,问景区可不可以铺设该步行道?
19.对于一组向量,(且),令,如果存在,使得,那么称是该向量组的“长向量”.
(1)设,且,若是向量组的“长向量”,求实数的取值范围;
(2)若且,向量组是否存在“长向量”?若存在,求出正整数;若不存在,请说明理由;
(3)已知均是向量组的“长向量”,其中,.设在平面直角坐标系中有一点列满足,为坐标原点,为的位置向量的终点,且与关于点对称,与(且)关于点对称,求的最小值.
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《福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
B
C
D
A
D
AC
ACD
题号
11
答案
BD
1.C
【分析】对于AB,举例判断,对于C,根据向量的运算性质分析判断,对于D,根据单位向量的定义判断.
【详解】对于A,是两个单位向量,而,所以A错误,
对于B,是两个单位向量,而,
对于C,因为是两个单位向量,所以,所以C正确,
对于D,因为是两个单位向量,所以,所以D错误.
故选:C
2.A
【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出.
【详解】向量,则,
由,得,所以.
故选:A
3.A
【分析】利用正弦定理结合已知条件求解即可.
【详解】解:在中,,
则由正弦定理得,即,解得,
因为且,所以或.
故选:A
4.B
【分析】当甲、乙两船相距最近时,由甲、乙两船和B岛三点构成的三角形中用余弦定理建立航行时间和甲、乙两船距离的函数关系,即可求出.
【详解】
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