福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题.docxVIP

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福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．曲线在点处的切线的斜率为（????）

A．0 B．1 C．e D．

2．已知函数，则（????）

A．有极小值，无极大值 B．既有极小值又有极大值

C．有极大值，无极小值 D．无极小值也无极大值

3．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（????）

A．的单调递减区间是

B．的单调递增区间是，

C．当时，有极值

D．当时，

4．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（????）

A． B．

C． D．

7．已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（????）

A．，

B．，

C．，

D．，

8．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（???）

A．

B．

C．

D．

10．已知函数则下列说法正确的是（???）

A．函数的单调减区间为，

B．函数的值域为

C．若关于的方程有三个根，则

D．若对于恒成立，则

11．已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（????）

A． B． C． D．

三、填空题

12．若函数，则.

13．已知曲线经过点，则过点的曲线C的切线方程是

14．已知有两个极值点，则实数的取值范围为．

四、解答题

15．已知函数在与处都取得极值．

（1）求，的值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

16．已知函数，若在点处的切线方程为．

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的极值．

17．如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数.

(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？

(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

18．已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

19．对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．

(1)讨论，的单调性

(2)试证明对数均值不等式：

(3)设，试证明：

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《福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

A

B

A

B

A

B

BC

ACD

题号

11

答案

ABC

1．B

【分析】根据导数的几何意义，即可求解.

【详解】因为，所以，

根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1.

故选：B

2．B

【分析】利用导数判断三次函数的单调性，进而求出极值即可.

【详解】因为，所以，

令，，令，，

则在上单调递增，在上单调递减，

即极小值为，极大值为，

得到既有极小值又有极大值，故B正确.

故选：B

3．A

【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误.

【详解】根据图象可知当时，，可得；

当时，，可得；

当时，，可得，且；

对于AB，易知时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增，

因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；

对于C，易知当时，，当时，，

即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；

对于D，因为时，，可得，因此，即D错误.

故选：A

4．B

【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得.

【详解】的定义域为，，

因为函数在其定义域内单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

因为，当且