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专题18立体几何初步（Ⅰ）（六大题型+模拟精练）
目录：
01概念、截面、展开图
02直观图
03表面积和体积
04实际应用、传统文化等
05立体几何初步的计算综合辨析
06多面体的切接问题
单选题
01概念、截面、展开图
1．（2024高三·全国·专题练习）有下列命题：
①若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥．
【考查意图】空间几何体的结构特征．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（????）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.
【详解】分别取、、的中点、、，连接、、，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
六边形是过，，这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D
3．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知正四面体的棱长为，为上一点，且，则截面的面积是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在立体图形中作平面几何分析，利用余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】
因为，所以，
所以在正三角形中，由余弦定理可知：
因为和都是正三角形，
所以,
所以，所以，
所以是等腰三角形，取中点，则，
所以，
.
故选:D.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥的侧面积是,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的内切球半径为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先画出图形,设圆锥底面圆的半径为,高为,母线长为,并由题意联立方程组求出；再由特殊的直角三角形的性质解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】如图所示圆锥和侧面展开图.
设圆锥底面圆的半径为,高为,母线长为,由题意知：,
两式相除解得,；
所以圆锥的顶角为,轴截面为等边三角形,圆锥的高,
设圆锥的内切圆半径为,中,,即,解得.
故选:B.
5．（2024·辽宁·模拟预测）圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球表面与该圆锥侧面交线长为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作圆锥的轴截面，设轴截面与球交点为为中点，则球表面与该圆锥侧面交线即为以为半径的圆，利用相似和勾股定理求出长即可.
【详解】根据题意，以圆锥的高为直径的球半径为，且与圆锥底面相切于底面圆心，
作圆锥的轴截面，设轴截面与球交点为为中点，
则球表面与该圆锥侧面交线即为以为半径的圆，
因为在圆上，所以，所以，
又因为，所以由解得，
所以，
所以由等面积可得，解得，
所以交线长为，
故选：D
6．（2024·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：，
两式相除解得，；
所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高，
设圆锥的内切圆半径为，，解得.
故选：D.
7．（2024·广东汕头·一模）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为，与圆锥底面所成的角为，则（????）
A．圆锥的高为
B．圆锥的体积为
C．圆锥侧面展开图的圆心角为
D．二面角的大小为
【答案】D
【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体积公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则，
所以，与圆锥底面所成的角为，
又因为，所以，的面积为，解得，
所以，该圆锥的高为，A错；
对于B选项，该圆锥的底面半径为，
故该圆锥的体积为，B错；
对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为，
底面圆周长为，则，C错；
对于D选项，取的中点，连接、，
??
因为，为的中点，则，由垂径定理可得，
所以，二面角的平面
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