8．5 空间直线、平面的平行 （15大题型）（解析版）.docx

8．5空间直线、平面的平行

【题型归纳目录】

题型一：基本事实4的应用

题型二：等角定理的应用

题型三：直线与平面平行的判断定理的理解

题型四：直线与平面平行的判定

题型五：补全直线与平面平行的条件

题型六：直线与平面平行的性质

题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系

题型八：由线面平行的性质求长度问题

题型九：平面与平面平行的判定定理的理解

题型十：平面与平面平行的判定

题型十一：补全平面与平面平行的条件

题型十二：平面与平面平行的性质

题型十三：由面面平行证线面平行

题型十四：空间平行的转化

题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一、平行线的传递性

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示：a∥b，b∥c?a∥c．

知识点二、等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

知识点三、直线和平面平行的判定

文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行．

图形语言：

符号语言：、，．

知识点诠释：

（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：

①直线a在平面外，即；

②直线b在平面内，即；

③直线a，b平行，即a∥b．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

知识点四、两平面平行的判定

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

图形语言：

符号语言：若、，，且、，则．

知识点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．

知识点五、判定平面与平面平行的常用方法

1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．

2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．

3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．

知识点六、直线和平面平行的性质

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行．

符号语言：若，，，则．

图形语言：

知识点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；

（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．

知识点七、平面和平面平行的性质

文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

符号语言：若，，，则．

图形语言：

知识点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

知识点八、空间平行关系的注意事项

直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．

【典型例题】

题型一：基本事实4的应用

【例1】（2025·高二·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积．

【解析】（1）连接，

因为分别为棱的中点，

所以，

因为正方体的棱长为3，

所以，，

故四边形为平行四边形，

所以，

故；

（2）由题意得，正方形的面积为，

，，

故，

又⊥平面，故⊥平面，

三棱锥的体积为.

【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）

（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；

（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

【变式1-1】（2025·高一·全国·随堂练习）如图，把一张矩形的纸对折两次，然后打开，试说明：为什么这些折痕是互相平行的？

??

【解析】把一张长方形的纸对折两次,打开后得到4个全等的矩形，

因为矩形的对边是互相平行的，根据空间平行线的传递性，

所以它们的折痕是互相平行的

【变式1-2】（2025·高一·全国·随堂练习）如图，在长方