2025年高考数学第二轮复习(通用版)专题四立体几何第5讲　球的切接问题(学生版+解析).docxVIP

第5讲球的切接问题（新高考专用）

目录

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【真题自测】 2

【考点突破】 2

【考点一】空间几何体的外接球 2

【考点二】空间几何体的内切球 4

【专题精练】 6

考情分析：

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（????）

A． B． C． D．

4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（????）

A．26% B．34% C．42% D．50%

考点突破

考点突破

【考点一】空间几何体的外接球

一、单选题

1．（2020·全国·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（????）

??

A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为

C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为

4．（2024·辽宁·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，为面的中心，则以下命题正确的是（????）

A．平面截正方体所得的截面面积为

B．四面体的外接球的表面积为

C．四面体的体积为

D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为

三、填空题

5．（2023·湖北·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.

6．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为．

规律方法：

求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．

【考点二】空间几何体的内切球

一、单选题

1．（2024·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（?????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·广东湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点，且，则下列选项中正确的有（????）

A．三棱柱存在内切球

B．直线被三棱柱的外接球截得的线段长为

C．点在棱上的位置唯一确定

D．四面体的外接球的表面积为

4．（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（