2025年高考数学第二轮复习(通用版)专题一函数与导数第6讲　函数的公切线问题(学生版+解析).docxVIP

第6讲函数的公切线问题（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 2

【考点一】求两函数的公切线 2

【考点二】与公切线有关的求值问题 3

【考点三】判断公切线条数 4

【考点四】求参数的取值范围 4

【专题精练】 5

考情分析：

函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.

三、解答题

3．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

考点突破

考点突破

【考点一】求两函数的公切线

一、单选题

1．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）

A．， B．，

C．， D．，

2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（????）

A． B．

C．若，则 D．与的交点可能在第三象限

4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（????）

A．曲线的图象在轴的上方

B．当时，

C．若，则

D．当时，和必存在斜率为的公切线

三、填空题

5．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为.

6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为.（写出符合要求的一条切线即可）

规律方法：

求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．

【考点二】与公切线有关的求值问题

一、单选题

1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（???）

A． B． C． D．

2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（????）

A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1

二、多选题

3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（????）

A．恒成立的充要条件是

B．当时，两个函数图象有两条公切线

C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线

D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则

4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（????）

A．0 B． C． D．

三、填空题

5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则.

6．（2024·四川·模拟预测）若直线是曲线fx=lnx的切线，也是曲线的切线，则

规律方法：

利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．

【考点三】判断公切线条数

一、单选题

1．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线与曲线有（????）条公切线.

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2023·江西南昌·一模）已知函数，则和的公切线的条数为

A．三条 B．二条 C．一条 D．0条

规律方法：

运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．

【考点四】求参数的取值范围

一、单选题

1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、填空题

4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的