2025年高考数学第二轮复习(通用版)专项训练15等差数列、等比数列(学生版+解析).docxVIP

2025二轮复习专项训练15

等差数列、等比数列

[考情分析]高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式考查，属于中档题目．

【练前疑难讲解】

一、等差数列、等比数列的基本运算

1．等差数列

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；

(2)求和公式：Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d.

2．等比数列

(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；

(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；

q≠1，Sn＝eq\f(a1?1－qn?,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

二、等差数列、等比数列的性质

1．等差数列常用性质：

(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

(2)an＝am＋(n－m)d；

(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．

2．等比数列常用性质：

(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；

(2)an＝am·qn－m.

三、等差数列、等比数列的判断与证明

证明数列{an}是等差(比)数列的方法：

(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；

②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．

(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明eq\f(an＋1,an)(an≠0，n∈N*)为一常数；

②利用等比中项，证明aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．

一、单选题

1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

2．（2024·河南郑州·二模）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．－36或36 B．－36 C．36 D．18

二、多选题

3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知等差数列的前项和为，的公差为，则（????）

A． B．

C．若为等差数列，则 D．若为等差数列，则

4．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（????）

A．若取，，则

B．满足题意的也必是一个等比数列

C．在的前100项中，的可能项数最多是6

D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列

三、填空题

5．（23-24高三上·江苏·期末）若数列满足，（），则.

6．（2024·湖北·一模）设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为．

四、解答题

7．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足，求数列的前项和．

8．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.

【基础保分训练】

一、单选题

1．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足：，且数列为等差数列，则（????）

A．10 B．40 C．100 D．103

2．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（???）

A． B． C． D．

3．（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（????）

A．①② B．①③

C．①④ D．①②③

4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）

A． B． C． D．

5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（????）秒．

A．10 B．11 C．12 D．13

6．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次