2024_2025高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线1双曲线及其标准方程3作业含解析新人教A版选修2_1.docVIP

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双曲线及其标准方程

基础巩固

一、选择题

1．(2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()

A．双曲线 B．双曲线左支

C．一条射线 D．双曲线右支

[答案]C

[解析]∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，

∴动点P的轨迹是一条射线．

2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为()

A．(±5,0) B．(0，±eq\r(5))

C．(±eq\r(7)，0) D．(0，±eq\r(7))

[答案]D

[解析]双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为eq\f(y2,3)－eq\f(x2,4)＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝eq\r(7)，

又∵焦点在y轴上，故选D．

3．已知方程eq\f(x2,1＋k)－eq\f(y2,1－k)＝1表示双曲线，则k的取值范围是()

A．－1k1 B．k0

C．k≥0 D．k1或k－1

[答案]A

[解析]由题意得(1＋k)(1－k)0，

∴(k－1)(k＋1)0，∴－1k1.

4．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m2)＝1与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则m的值是()

A．±1 B．1

C．－1 D．不存在

[答案]A

[解析]验证法：当m＝±1时，m2＝1，

对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.

对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，

故当m＝±1时，它们有相同的焦点．

干脆法：明显双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.

∴m2＝1，即m＝±1.

5．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是()

[答案]C

[解析]把直线方程和曲线方程分别化为y＝mx＋n，eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1.依据图形中直线的位置，判定斜率m和截距n的正负，从而断定曲线的形态．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2

A．16 B．18

C．21 D．26

[答案]D

[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝

＝8，

∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，

∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5

＝26.

二、填空题

7．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________.

[答案]eq\f(x2,\f(7,3))－eq\f(y2,\f(7,5))＝1

[解析]解法一：设双曲线方程为：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1,\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(7,3),b2＝\f(7,5))).

解法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋4n＝1,4m＋n＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,7),n＝－\f(5,7))).

故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(7,3))－eq\f(y2,\f(7,5))＝1.

8．双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝________.

[答案]8

[解析]由题意，得a2＝m，b2＝1，

∴c2＝a2＋b2＝m＋1，又c＝3，

∴m＋1＝9，∴m＝8.

9.已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是______________.

[答案]以A，B为焦点的双曲线的下半支

[解析]∵A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，

∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2

∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，

∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝eq\r(122＋92)－eq\r(122＋52)＝2|AB|＝14，

∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．

三、解答题

10．求满意下列条件的双曲线的标准方程．

(1)焦点在x轴上，c＝eq\r(6)且经过点(