难点01 平面向量的综合问题（八大难点+真题精炼）（原卷版）_1.docx

难点01平面向量的综合问题

热点一平面向量共线定理的推论（需联立）

例1．已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则.

例2．在中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则．

变式1-1．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．

变式1-2．在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为．

变式1-3．平面内有四边形，，且，，，是的中点．

（1）试用，表示；

（2）上有点，和的交点，，求和．

共线定理的推论：设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得.

若线段与线段交于点，则可利用推论得到，然后利用题意将转化成和，然后对应系数相等得到二元一次方程组

热点二数量积的最值范围问题

例3．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．-2

例4．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为．

??

变式2-1．如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为．

变式2-2．（多选）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（????）

A． B． C．12 D．16

变式2-3．在等腰梯形中，，，，．

??

(1)若与垂直，求的值；

(2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．

平面向量求最值范围的常用方法：

1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题

2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。

热点三模的最值范围问题

例5．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是

例6．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（????）

A．2 B．4 C． D．

变式3-1．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为．

变式3-2．平面向量满足，且，则的最小值为．

变式3-3．如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（????）

??

A． B． C． D．

热点四夹角的最值范围问题

例7．如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

??

(1)求向量与夹角的余弦值；

(2)若向量，求实数x，y的值；

(3)若向量与的夹角为，求的最小值.

例8．在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（????）

A． B． C． D．

变式4-1．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

变式4-2．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

变式4-3．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（????）

A． B． C． D．

热点五利用等和弦解决系数和差商方问题

例9．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是

A． B． C． D．

例10．如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（????）

A．4 B． C． D．2

变式5-1．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为

变式5-2．如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．

??

变式5-3．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是．

平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线时，；

②当等和线在点和直线之间时，；

③当直线在点和等和线之间时，