难点02 解三角形的最值范围与图形类问题（八大难点+真题精炼）（原卷版）_1.docx

难点02解三角形的最值范围与图形类问题

热点一利用基本不等式求周长面积的最值范围

例1．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（????）

A． B． C．2 D．4

例2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．

(1)求A；

(2)若，求△ABC的面积S的最小值．

变式1-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．

变式1-2．在中，角、、的对边分别为、、，满足.

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，求的最小值．

变式1-3．在中，内角，，的对边分别为，，，满足．

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的最小值．

利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”

热点二求角度有关的最值范围

例3．在中，内角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)求的取值范围.

例4．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

变式2-1．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围．

变式2-2．在锐角中，内角对边分别为，已知.

(1)求；

(2)求的取值范围.

变式2-3．在锐角三角形中，角对应的边分别记为.

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

利用角的关系进行统一角，利用统一角的范围求出所求的范围

热点三转成角的最值范围

例5．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（????）

A．4 B． C． D．3

例6．设的内角的对边分别为，且．

(1)求；

(2)若的最大值为，求的值．

变式3-1．在中，，，则的最大值为．

变式3-2．已知的内角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

变式3-3．记的内角的对边分别为，已知的面积．

(1)求；

(2)若，求；

(3)若，且存在最大值，求正数的取值范围．

先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围

热点四多边形问题

例7．在中，，，，为边上一点，且，则

例8．在凸四边形中，对角线交于点，且.

(1)若，求的余弦值；

(2)若，求边的长.

变式4-1．在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（????）

A． B． C． D．

变式4-2．如图，在四边形中，，，，，则的长为（????）

A． B． C． D．

变式4-3．在中，角所对的边分别为，，，且.

(1)求;

(2)已知，为边上的一点，若，，求的长.

将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解

热点五多边形中的最值范围

例9．已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为．

例10．如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；

(2)用表示的长度；

(3)求的面积的取值范围.

变式5-1．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为.

变式5-2．如图，在中，点在边上，．

(1)若，，，求；

(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．

变式5-3．已知四边形内接于，若，，．

(1)求线段的长．

(2)若，求的取值范围．

热点六中线问题

例11．（多选）已知的内角的对边分别为为的中点，，则（???）

A． B．

C．的面积为 D．

例12．在中，角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，，为AC边的中点，求BD的长.

变式6-1．在中，，D为的中点，，的面积为，则．

变式6-2．记的内角，，的对边分别，，，已知．

(1)求；

(2)设是边中点，若，求．

变式6-3．已知中，角，，所对的边分别为，，，.

(1)求角的大小；

(2)若为的中点，，，求的面积.

若是的中线，则

方法一：向量法；

方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，①

在中，由余弦定理得，②

因为，所以，所以①+②式即可

热点七与中线有关的最值范围

例13．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为．

例14．在中，内角所对的边分别为，且

(1)求；

(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.

变式7-1．已知分别为锐角三角形三个内角