上海市南洋模范中学2024-2025学年高二下学期初态考试数学试卷.docxVIP

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上海市南洋模范中学2024-2025学年高二下学期初态考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是.

2．若直线与直线平行，则.

3．若事件与事件是独立的，，，则.

4．已知圆C直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为.

5．若的展开式中的系数为，则a的值为．

6．将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是.

7．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是.

8．所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为.

9．设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为.（用含的代数式表示）附参考公式：

10．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动，设，若，则四面体体积的最大值为．

11．设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则.（用含n和x的式子表达）

12．一点从正三角形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿顺时针或逆时针方向移动－步.设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则.

二、单选题

13．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（????）

A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收；

B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问；

C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查；

D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌．

14．若直线：ax＋4y－2＝0与直线：2x－5y＋b＝0垂直于点(1，c)，则a＋b＋c＝(????)

A．2 B．4 C．－2 D．－4

15．要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（????）

A．24 B．72 C．144 D．288

16．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（????）

??

A． B． C． D．

三、解答题

17．已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为

(1)求实数a和n的值；

(2)求展开式中系数最小的项．

18．已知圆，点，点，

(1)若直线，与圆相交于、两点，且，求直线的方程，

(2)在圆上是否存在点，使？若存在求出点的个数，若不存在，说明理由.

19．已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示.

图①????????????????????????图②

(1)求平面与平面夹角的正弦值；

(2)若点满足.

（i）平面，求的值；

（ii）若与平面所成角为，求的最大值.

20．现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆.

(1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；

(2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”.

（i）求直线的方程；

（ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21．折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸．

步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；

步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的