2024-2025学年冀教版初中数学九年级下册教案 第三十章二次函数.docx

第三十章二次函数

30.1二次函数

教学目标

1.理解二次函数的概念，掌握其一般形式.

2.会利用二次函数的概念解决问题.

3.会列二次函数表达式解决实际问题．

教学重点难点

重点：二次函数的一般形式.

难点：从实际问题出发列二次函数解析式，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.

教学过程

温故知新

1.函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

2.一次函数与正比例函数

一般地，形如y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b＝0时，一次函数y＝kx就叫做正比例函数.

3.一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c＝0（a≠0）.

探究新知

1.二次函数的定义

问题1：拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为xm，种植面积为ym2，则y与x有什么关系？

y＝（60-x-4）（x-2），即y＝-x+58x-112.

此式表示了种植面积y与边长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一确定的一个对应值，即y是x的函数.

问题2：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数y与球队数n有什么关系？

填空：

每个球队n要与其他个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是.

（n-1）

y＝＝，此式表示了比赛的场次数y与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，y都有唯一确定的一个对应值，即y是n的函数.

问题3：一工厂某产品现在的年产量是30t，工厂通过改进技术增加产量，预计每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？

填空：

这种产品的原产量是30t，一年后的产量是t，再经过一年的产量是

t，即两年后的产量是y＝.

（30（1+x）30（1+x）230（1+x）2）

，此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一确定的一个对应值，即y是x的函数.

教师提出问题：上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同特征呢？

经过化简后都具有的形式，a，b，c是常数，且a≠0.

二次函数的定义：一般地，如果两个变量x，y之间的函数关系可以表示成y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），那么称y为x的二次函数.其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.

注意：

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；

（2）a，b，c为常数，且a≠0；

（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二

次项.

2.二次函数的应用

例1下列函数中，是二次函数的有哪些？

①；②；③；④；

⑤；⑥.

解：②③是二次函数.

解题小结：

判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征：

（1）表达式是关于自变量的整式；

（2）自变量的最高次数是2；

（3）化简后二次项系数不为0.

除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax2+bx+c（a≠0）外，还有其特殊形式.如

y＝ax2，y＝ax2+bx，y＝ax2+c等.

例2.

当m取什么值时，此函数是一次函数？

当m取什么值时，此函数是二次函数？

解：（1）由一次函数的定义可知，

解得m＝±.

（2）由二次函数的定义可知，

解得m＝3.

解题小结：

本次考查一次函数和二次函数的概念，这类题要紧扣概念进行解题.此外在求解有关二次函数定义的问题时要确保二次项系数不为0，此题即m+3≠0.

思考：二次函数的一般式（）与前面学习过的一元二次方程（）有什么联系和区别？

联系：（1）等式一边都是且；

（2）方程可以看成是函数中y＝0时得到的.

区别：前者是函数，后者是方程；等式另一边前者是y，后者是0.

课堂练习

1.下列函数中，y是x的二次函数的是（）

A.

B.

C.

D.

2.函数是二次函数的条件是（）

A.m，n是常数，且m≠0

B.m，n是常数，且n≠0

C.m，n是常数，且m≠n

D.m，n是任何实数

二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是.

4.矩形的周长为16cm，它的一边长为x（cm），面积为y（cm2）.

（1）求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；

（2）求当x＝3时矩形的面积.

参考答案

1.B

2.C

3.85

4.解：（1）y＝（8-x）x＝-x2+8x（0x8）.