数学干货-圆锥曲线的离心率.docx

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圆锥曲线的离心率

离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量,在圆锥曲线中有着极其特殊的作用,也是高考的高频考点。圆锥曲线离心率问题的通常有两类问题:一是求离心率的大小；二是求离心率的取值范围.

一、知识要点：

（一）求椭圆或双曲线的离心率的思路：

1.定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求得离心率。

2.的比值法：

3.的比值法：

在椭圆中，

在双曲线中，

4.构建齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

5.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

说明：在处理求圆锥曲线的离心率问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆或双曲线定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题．

(二)求离心率范围的方法：

建立不等式法：

技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式。

技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系。

为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；

为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，。

技巧3：利用角度的大小建立不等关系。

为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为。

技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系。

易错提醒：

圆锥曲线的离心率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意。

二、题型：

（一）求圆锥曲线的离心率：

（Ⅰ）定义法：

1.椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（）．

A．B．

C．D．

2．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．

3.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(???????)

A．B．C．D．

4．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（????）

A．2B．C．D．4

点评：此题用二级结论：双曲线上任意一点，使得，则可快速获解。

（Ⅱ）的比值法：

1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（????）

A．B．C．D．

2．如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．

??

3．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．

（Ⅲ）的比值法：

1．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（????）

A．B．

C．D．

2．已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（???）

A．B．2C．D．

3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（???????）

A．B．2C．D．

此题用二级结论：直线与椭圆相交于，其中点，

则，若双曲线的焦点在轴上时，可快速获解。

4．已知直线与双曲线交于两点，点是双曲线上与不同的一点，直线的斜率分别为，则当取得最小值时，该双曲线的离心率为（????）

A．B．C．D．

点评：此题用二级结论：过原点的直线与双曲线相交于A、B两点，P为双曲线上的任一点，连接AP、BP，可快速获解。

（Ⅳ）构建齐次式法：

1.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

2．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（??）

A．B．C．D．2

（二）求圆锥曲线的离心率的范围：

（Ⅰ）利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

1．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．

（Ⅱ）利用线段长度的大小建立不