数学干货-圆锥曲线的离心率(教师版).docx

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圆锥曲线的离心率

离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量,在圆锥曲线中有着极其特殊的作用,也是高考的高频考点。圆锥曲线离心率问题的通常有两类问题:一是求离心率的大小；二是求离心率的取值范围.

一、知识要点：

（一）求椭圆或双曲线的离心率的思路：

1.定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求得离心率。

2.的比值法：

3.的比值法：

在椭圆中，

在双曲线中，

4.构建齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

5.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

说明：在处理求圆锥曲线的离心率问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆或双曲线定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题．

(二)求离心率范围的方法：

建立不等式法：

技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式。

技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系。

为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；

为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，。

技巧3：利用角度的大小建立不等关系。

为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为。

技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系。

易错提醒：

圆锥曲线的离心率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意。

二、题型：

（一）求圆锥曲线的离心率：

（Ⅰ）定义法：

1.椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意，，所以，

所以，

所以离心率为．故选：C．

2．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．

【答案】

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.

【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，

将代入得，即，

故，，

又，得，解得，

代入得，故，即，所以.

故答案为：

3.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(???????)

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．

【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，

延长交轴于点，则由平行于轴知，，

则,设内切圆半径为r，

则，

∴椭圆的离心率为．

故选：A﹒

4．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（????）

A．2B．C．D．4

答案：C

分析：依题意可得为直角三角形，且，设，，利用双曲线的定义及勾股定理求出，再由的面积为求出，最后由焦距求出，即可求出离心率.

【详解】

因为的面积为，所以的面积为.

又，所以，所以为直角三角形，且.

设，，所以，

所以，

所以，又，所以.

焦距为，所以，则，

所以，则离心率.

故选：C.

点评：此题用二级结论：双曲线上任意一点，使得，则可快速获解。

（Ⅱ）的比值法：

1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

2．如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．

??

【答案】

【分析】利用双曲线的几何定义，设就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率.

【详解】

??

设另一个焦点，连接，设则

再根据双曲线的定义可知：

由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，

所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，

所以由勾股定理得：，

化简得：，

再由勾股定理得：，

代入得：，

故答案为：.

3．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，，则的离心率为