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圆锥曲线的离心率
离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量,在圆锥曲线中有着极其特殊的作用,也是高考的高频考点。圆锥曲线离心率问题的通常有两类问题:一是求离心率的大小;二是求离心率的取值范围.
一、知识要点:
(一)求椭圆或双曲线的离心率的思路:
1.定义法:通过已知条件列出方程组,求得的值,根据离心率的定义求得离心率。
2.的比值法:
3.的比值法:
在椭圆中,
在双曲线中,
4.构建齐次式法:由已知条件得出关于的二元齐次方程,然后转化为关于的一元二次方程求解;
5.特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
说明:在处理求圆锥曲线的离心率问题的时候一定要注意定义优先原则,用上椭圆或双曲线定义,再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容,往往可以解决诸多离心率问题.
(二)求离心率范围的方法:
建立不等式法:
技巧1:建立关于和的一次或二次方程与不等式。
技巧2:利用线段长度的大小建立不等关系。
为椭圆的左、右焦点,为椭圆上的任意一点,;
为双曲线的左、右焦点,为双曲线上的任一点,。
技巧3:利用角度的大小建立不等关系。
为椭圆的左、右焦点,为椭圆上的动点,若,则椭圆离心率的取值范围为。
技巧4:利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
技巧5:涉及的关系式利用基本不等式,建立不等关系。
易错提醒:
圆锥曲线的离心率的范围是有限定的,椭圆的离心率范围是,而双曲线的离心率范围是,在求范围的时候要时刻注意。
二、题型:
(一)求圆锥曲线的离心率:
(Ⅰ)定义法:
1.椭圆的左右焦点分别是,,以为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点,若直线恰好与圆相切于点,则椭圆的离心率为().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意,,所以,
所以,
所以离心率为.故选:C.
2.设双曲线的左右焦点分别为,过作平行于轴的直线交C于A,B两点,若,则C的离心率为.
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出,结合双曲线第一定义求出,即可得到的值,从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等,设在第一象限,
将代入得,即,
故,,
又,得,解得,
代入得,故,即,所以.
故答案为:
3.已知椭圆:的左、右焦点分别是,,是椭圆上的动点,和分别是的内心和重心,若与轴平行,则椭圆的离心率为(???????)
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】连接PO,则三点共线,延长交轴于点,则由平行于轴得,从而可得,根据三角形内心的性质可得,从而可得离心率.
【详解】∵是的中点,G是的重心,∴三点共线,
延长交轴于点,则由平行于轴知,,
则,设内切圆半径为r,
则,
∴椭圆的离心率为.
故选:A﹒
4.已知双曲线的左,右焦点分别为为坐标原点,焦距为,点在双曲线上,,且的面积为,则双曲线的离心率为(????)
A.2B.C.D.4
答案:C
分析:依题意可得为直角三角形,且,设,,利用双曲线的定义及勾股定理求出,再由的面积为求出,最后由焦距求出,即可求出离心率.
【详解】
因为的面积为,所以的面积为.
又,所以,所以为直角三角形,且.
设,,所以,
所以,
所以,又,所以.
焦距为,所以,则,
所以,则离心率.
故选:C.
点评:此题用二级结论:双曲线上任意一点,使得,则可快速获解。
(Ⅱ)的比值法:
1.已知是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,,则C的离心率为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出,结合余弦定理可得答案.
【详解】因为,由双曲线的定义可得,
所以,;
因为,由余弦定理可得,
整理可得,所以,即.
故选:A
【点睛】关键点睛:双曲线的定义是入手点,利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
2.如图所示,已知双曲线的右焦点F,过点F作直线l交双曲线C于两点,过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G,,且三点共线(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为.
??
【答案】
【分析】利用双曲线的几何定义,设就可以来研究各焦半径的长度,再利用两个勾股定理就可以求出离心率.
【详解】
??
设另一个焦点,连接,设则
再根据双曲线的定义可知:
由双曲线的对称性可知,是的中点,也是的中点,
所以四边形是平行四边形,又因为,所以可得,
所以由勾股定理得:,
化简得:,
再由勾股定理得:,
代入得:,
故答案为:.
3.已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上,点在轴上,,,则的离心率为
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