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2024平面向量的知识点的总结(精华)

平面向量是高中数学的重要内容，它兼具代数与几何的双重属性，在解决几何、物理等问题中有着广泛应用。

向量的基本概念

既有大小又有方向的量叫向量。向量的大小即向量的模，记作$\vert\vec{a}\vert$。长度为$0$的向量叫零向量，记作$\vec{0}$，零向量的方向是任意的。长度等于$1$个单位的向量叫单位向量，与非零向量$\vec{a}$同向的单位向量为$\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}$。方向相同或相反的非零向量叫平行向量，规定零向量与任意向量平行，平行向量也叫共线向量。长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

向量的线性运算

1.加法运算

三角形法则：已知非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点$A$，作$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，则向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的和，记作$\vec{a}+\vec{b}$，即$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

平行四边形法则：以同一点$O$为起点的两个已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$为邻边作平行四边形$OACB$，则以$O$为起点的对角线$\overrightarrow{OC}$就是$\vec{a}$与$\vec{b}$的和。

加法运算律：交换律$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；结合律$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$。

2.减法运算

三角形法则：已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\vec{a}\vec{b}$，即$\vec{a}\vec{b}$表示从向量$\vec{b}$的终点指向向量$\vec{a}$的终点的向量。

3.数乘运算

实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的积是一个向量，记作$\lambda\vec{a}$。其长度$\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert$；当$\lambda\gt0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$方向相同；当$\lambda\lt0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$方向相反；当$\lambda=0$时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。

数乘运算律：$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$；$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$；$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$。

共线向量定理

向量$\vec{a}(\vec{a}\neq\vec{0})$与$\vec{b}$共线的充要条件是存在唯一一个实数$\lambda$，使得$\vec{b}=\lambda\vec{a}$。利用共线向量定理可以证明三点共线，若存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$，则$A$，$B$，$C$三点共线。

平面向量基本定理

如果$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量$\vec{a}$，有且只有一对实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，使$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$。不共线的向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与$x$轴、$y$轴方向相同的两个单位向量$\vec{i}$，$\vec{j}$作为基底。对于平面内的一个向量$\vec{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数$x$，$y$，使$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$，这样，平面内的任一向量$\vec{a}$都可由$x$，$y$唯一确定，我们把有序