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江苏省新沂市棋盘中学2024-2025学年高二数学下学期第八周课时作业2

1.（填空题）在复平面内，复数z＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限．

2.（单选题）已知函数在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，－eq\r(3))∪[eq\r(3)，＋∞)B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]

C．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(－eq\r(3)，eq\r(3))

3.（单选题）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A．3B．4C．6D．5

4.（简答题）某学校将要实行校内歌手大赛，现有3男3女参与，须要支配他们的出场依次.（结果用数字作答）

（1）假如3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场依次？

（2）假如女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场依次？

（3）假如3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场依次？

5.（简答题）已知复平面内点A，B对应的复数分别是，

，其中θ∈(0，π)，设eq\o(AB,\s\up8(→))对应的复数为z.

(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝eq\f(1,2)x上，求θ的值．

综合练习（6）

1.二[∵z＝i(1＋3i)＝i＋3i2＝－3＋i，

∴复数z对应的点为(－3,1)在其次象限．

2.B[由题知，f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).]

3.A[设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝eq\f(27,R2)，要运用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．

由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f(27,R).

∴S′＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．故选A.]

4.（1）依据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排成一排，有种状况，

②男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，支配3名女生，有种状况，

则有种不同的出场依次.

（2）依据题意，将6人排成一排，有种状况，其中女生甲在女生乙的前面，所以不用考虑两人的先后依次，则有种不同的出场依次.

（3）依据题意，分3步进行分析：

①先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的依次，有种状况；

②将除甲之外的2名女生和3名男生的整体全排列，有种状况，排好后有4个空位；

③女生甲不在第一个出场，则女生甲的支配方法有3种.

依据分步乘法计数原理，有种不同的出场依次.

5.(1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－2sin2θ·i.

(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．由点P在直线y＝eq\f(1,2)x上得－2sin2θ＝－eq\f(1,2)，

∴sin2θ＝eq\f(1,4)，又θ∈(0，π)，∴sinθ0，因此sinθ＝eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(5,6)π.