全国初中数学竞赛辅导八年级教学案全集第02讲_因式分解二.docx

?一、教学目标

1.理解并掌握运用公式法进行因式分解，能熟练运用平方差公式和完全平方公式分解因式。

2.学会综合运用提取公因式法和公式法对多项式进行因式分解，提高因式分解的能力和技巧。

3.通过因式分解的学习，培养学生的观察、分析和归纳能力，体会数学的简洁美和严谨性。

二、知识要点

1.平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。

-公式的特点：左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积。

-应用时需注意：要准确判断多项式是否符合平方差公式的形式，确定\(a\)和\(b\)的值。

2.完全平方公式：\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)，\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)。

-公式的特点：左边是一个二次三项式，其中首末两项是两个数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数乘积的\(2\)倍；右边是这两个数的和（或差）的平方。

-应用时需注意：要正确确定公式中的\(a\)和\(b\)，同时注意中间项的符号。

3.综合运用提取公因式法和公式法：

-先观察多项式是否有公因式，若有公因式，先提取公因式。

-提取公因式后，再看剩余的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，若符合则继续用公式法分解因式。

三、典型例题

运用平方差公式分解因式

例1：分解因式\(9x^2-16\)。

分析：\(9x^2=(3x)^2\)，\(16=4^2\)，符合平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)的形式，其中\(a=3x\)，\(b=4\)。

解：\(9x^2-16=(3x+4)(3x-4)\)。

例2：分解因式\((a+b)^2-9c^2\)。

分析：把\((a+b)\)看作一个整体，相当于平方差公式中的\(a\)，\(9c^2=(3c)^2\)相当于\(b\)。

解：\((a+b)^2-9c^2=[(a+b)+3c][(a+b)-3c]=(a+b+3c)(a+b-3c)\)。

运用完全平方公式分解因式

例3：分解因式\(x^2+6x+9\)。

分析：\(x^2=x^2\)，\(9=3^2\)，\(6x=2\timesx\times3\)，符合完全平方公式\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)的形式，其中\(a=x\)，\(b=3\)。

解：\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)。

例4：分解因式\(4x^2-12xy+9y^2\)。

分析：\(4x^2=(2x)^2\)，\(9y^2=(3y)^2\)，\(-12xy=-2\times2x\times3y\)，符合完全平方公式\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)的形式，其中\(a=2x\)，\(b=3y\)。

解：\(4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2\)。

综合运用提取公因式法和公式法

例5：分解因式\(2x^3-8x\)。

分析：先提取公因式\(2x\)，得到\(2x(x^2-4)\)，而\(x^2-4\)又符合平方差公式的形式。

解：\(2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x+2)(x-2)\)。

例6：分解因式\(3a^2-6ab+3b^2\)。

分析：先提取公因式\(3\)，得到\(3(a^2-2ab+b^2)\)，括号内的式子符合完全平方公式的形式。

解：\(3a^2-6ab+3b^2=3(a^2-2ab+b^2)=3(a-b)^2\)。

例7：分解因式\(x^4-y^4\)。

分析：先利用平方差公式\(x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)\)，而\(x^2-y^2\)又可以继续用平方差公式分解。

解：\(x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)\)。

四、课堂练习

1.分解因式：

-\(4m^2-9\)

-\(1-25n^2\)