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其次节排列与组合
命题分析预料
学科核心素养
从近五年的高考来看,本节内容是命题的热点,主要考查排列与组合的综合应用,分组安排问题是命题热点,多为选择题、填空题,难度中等偏下.
本节内容主要通过排列、组合的应用考查逻辑推理核心素养.
授课提示:对应学生用书第205页
学问点一排列与排列数
1.排列与排列数
(1)排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,依据肯定的依次排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作Aeq\o\al(m,n).
2.排列数公式及性质
(1)排列数公式
Aeq\o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
=eq\f(n!,(n-m)!)(m、n∈N+且m≤n).
(2)性质:①Aeq\o\al(n,n)=n!;
②0!=1.
1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()
A.144 B.120
C.72 D.24
解析:“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq\o\al(3,4)=4×3×2=24.
答案:D
2.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为()
A.8 B.24
C.48 D.120
解析:末位数字排法有Aeq\o\al(1,2)种,其他位置排法有Aeq\o\al(3,4)种,共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)=48种排法,所以偶数的个数为48.
答案:C
学问点二组合与组合数
1.组合与组合数
(1)组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合W.
(2)组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作Ceq\o\al(m,n).
2.组合数的公式及性质
(1)组合数公式
Ceq\o\al(m,n)=eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))
=eq\f(n(n-1)…(n-m+1),m!)
=eq\f(n!,m!(n-m)!)(n、m∈N+且m≤n).
(2)组合数性质
①Ceq\o\al(0,n)=1;
②Ceq\o\al(m,n)=eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n-m,n));
③Ceq\o\al(m,n)+Ceq\o\al(m-1,n)=Ceq\o\al(m,n+1).
?温馨提示?
二级结论
与组合数相关的几个公式
(1)Ceq\o\al(0,n)+Ceq\o\al(1,n)+…+Ceq\o\al(n,n)=2n(全组合公式).
(2)Ceq\o\al(m,n)+Ceq\o\al(m,n-1)+…+Ceq\o\al(m,m+1)+Ceq\o\al(m,m)=Ceq\o\al(m+1,n+1).
(3)kCeq\o\al(k,n)=nCeq\o\al(k-1,n-1).
必明易错
易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与依次有关,排列问题与依次有关,组合问题与依次无关.
1.从4名男同学和3名女同学中选出3名参与某项活动,则男女生都有的选法种数是()
A.18 B.24
C.30 D.36
解析:选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)=18(种),选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)=12(种),故3名学生中男女生都有的选法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)+Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)=30(种).
答案:C
2.(易错题)用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数,满意1不在左、右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为()
A.423 B.288
C.216 D.144
解析:若2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外四个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则六位数的个数为2×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(4,4)=144,同理2,4与6相邻的有Aeq\o\al(2,2)×2×2×Aeq\o\al(3,3)=48(个),所以只有2,4相邻的有144-48=96(个),全部符合条件的六位数有96×3=288(个).
答案:B
3.从6台原装计算机和5台组装计算机中随意选取5台,
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