2025届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.2排列与组合学案理含解析北师大版.docVIP

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其次节排列与组合

命题分析预料

学科核心素养

从近五年的高考来看，本节内容是命题的热点，主要考查排列与组合的综合应用，分组安排问题是命题热点，多为选择题、填空题，难度中等偏下．

本节内容主要通过排列、组合的应用考查逻辑推理核心素养．

授课提示：对应学生用书第205页

学问点一排列与排列数

1．排列与排列数

（1）排列

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，依据肯定的依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

（2）排列数

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的全部不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Aeq\o\al(m,n)．

2．排列数公式及性质

（1）排列数公式

Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）

＝eq\f(n！,（n－m）！)（m、n∈N＋且m≤n）．

（2）性质：①Aeq\o\al(n,n)＝n！；

②0！＝1．

1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A．144 B．120

C．72 D．24

解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24．

答案：D

2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）

A．8 B．24

C．48 D．120

解析：末位数字排法有Aeq\o\al(1,2)种，其他位置排法有Aeq\o\al(3,4)种，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48种排法，所以偶数的个数为48．

答案：C

学问点二组合与组合数

1．组合与组合数

（1）组合

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合Ｗ．

（2）组合数

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Ceq\o\al(m,n)．

2．组合数的公式及性质

（1）组合数公式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))

＝eq\f(n（n－1）…（n－m＋1）,m！)

＝eq\f(n！,m！（n－m）！)（n、m∈N＋且m≤n）．

（2）组合数性质

①Ceq\o\al(0,n)＝1；

②Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))；

③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)．

?温馨提示?

二级结论

与组合数相关的几个公式

（1）Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n（全组合公式）．

（2）Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)．

（3）kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)．

必明易错

易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与依次有关，排列问题与依次有关，组合问题与依次无关．

1．从4名男同学和3名女同学中选出3名参与某项活动，则男女生都有的选法种数是（）

A．18 B．24

C．30 D．36

解析：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18（种），选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝12（种），故3名学生中男女生都有的选法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝30（种）．

答案：C

2．（易错题）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满意1不在左、右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）

A．423 B．288

C．216 D．144

解析：若2，4相邻，把2，4捆绑在一起，与另外四个数排列（相当于5个元素排列），1不在左、右两侧，则六位数的个数为2×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(4,4)＝144，同理2，4与6相邻的有Aeq\o\al(2,2)×2×2×Aeq\o\al(3,3)＝48（个），所以只有2，4相邻的有144－48＝96（个），全部符合条件的六位数有96×3＝288（个）．

答案：B

3．从6台原装计算机和5台组装计算机中随意选取5台，