导学案数学第八章86862直线与平面垂直（1）.docx

8.6.2直线与平面垂直(1)

【学习目标】

1.了解直线与平面垂直的定义.

2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.

3.理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题.

【素养达成】

数学抽象

逻辑推理

数学运算

一、直线与平面垂直的定义

1.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.

2.相关概念:

3.结论:

(1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条;

(2)垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

【版本交融】(苏教P180思考)

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?

提示:不一定.因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.

【版本交融】(北师大版P242思考交流)

过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直?

提示:有且只有一条.

二、直线与平面垂直的判定定理

1.文字:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.

2.符号:l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α.

【教材挖掘】(P151思考)

两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗?

提示:不可以.当这两条直线相互平行时,直线和平面不一定垂直.

【版本交融】(北师大版P242思考交流)

若三条共点的直线两两垂直,那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系?

提示:垂直.

三、直线与平面所成的角

1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角.

2.相关概念:

3.范围:0°≤θ≤90°,

当θ=0°时,直线与平面平行或者在平面内;

当θ=90°时,直线与平面垂直.

【教材挖掘】(P151)

斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的吗?

提示:是.

【明辨是非】

(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若直线l垂直于平面α内的所有直线,则直线l与平面α垂直.(√)

(2)若一条直线垂直于矩形的两边所在的直线,则这条直线垂直于矩形所在的平面.(×)

提示:当这条直线垂直于矩形的对边时,直线和平面不一定垂直.

(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(×)

提示:在空间中有无数条.

(4)斜线和斜线在平面上的射影的夹角是该斜线与平面所成的角.(×)

提示:线面角是斜线与斜线在平面上的射影的夹角中的锐角.

类型一直线与平面垂直的判定(逻辑推理)

角度1线面垂直的定义与判定定理的理解

【典例1】(多选)下列命题,正确的是()

A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α

B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线

C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直

D.若一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边,则该直线与平面垂直

【解析】选CD.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,A不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,B不正确,C正确;三角形的两边是相交的,由线面垂直的判定定理可知,D正确.

【总结升华】

1.直线与平面垂直定义的“双向”作用

(1)证明线面垂直:需要证明一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,一般不使用;

(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.

2.直线与平面垂直的判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

【即学即练】

设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()

A.若l⊥m,m?α,则l⊥α

B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α

C.若l∥α,m?α,则l∥m

D.若l∥α,m∥α,则l∥m

【解析】选B.对于A,由l⊥m及m?α,可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,l与m的位置关系为平行、异面或相交,故D错误.

角度2线面垂直的证明

【典例2】如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证:OE⊥平面ACD1.

【证明】如图,连接AE,CE,D1O,D1E,D1B1.

设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.因为AO=OC,所以OE⊥AC.

D1O=DD12+DO

OE=BE2+OB2

D1E=D1B12+

因为D1O2+OE2=D1E2,所以D1O⊥OE.

因为D1O∩AC=O,D1O?平面ACD1,

AC?平面ACD1,所以OE⊥平面ACD1.

【总结升华】

1.线面垂直判定定理的关注点

(1)实质:由线线垂直推证线面垂直;