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高中数学竞赛“代数问题”高级讲稿

浙江省杭州第十四中学马茂年

〔中国奥数高级教练、数学特级教师〕

知识方法

在高中数学竞赛中，代数方面的问题是多种多样的，主要包括：函数与方程问题〔函数的解析式，函数的最值、方程根的讨论等〕，数列问题(递推数列、数列的通项、数列不等式等)，不等式问题〔不等式的求解、证明及应用等〕、复数与三角问题等等。解决代数问题的方法和策略也是多种多样的，主要的方法包括：探索法、化归法、转换法、构造法、数形结合法、数学归纳法、递推法等等。

要点突破

1．集合的概念与运算

例1在集合中，任意取出一个子集，计算它的所有子集的元素之和。

例2集合，且，求参数的取值范围。

例3,集合.假设,求的值。

例4集合.假设,求…+的值。

例5A为有限集，且，满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等，写出所有这样的集合A。

例6集合,假设,求实数的取值组成的集合A.

例7平面上两个点集R},

R}.假设,求的取值范围。

例8集合,,其中,

.假设,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.

例9满足条件的函数形成了一个集合M,其中,并且,求函数与集合M的关系.

例10对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如的“交替和”是,集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”“交替和”求出所有的“交替和”.

2．集合的划分

例11求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．

例12S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？

例13能否给出集合的一个划分，使得的内部各元素之和恰成等差数列

3．二次函数

例14．集合={}，={}，，求实数的取值集合．

例15．考察所有可能的这样抛物线，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点．

例16．抛物线的顶点位于区域内部或边界上，求、的取值范围．

例17．设=时，二次函数有最大值5，二次函数的最小值为－2，且＞0，

+=,=25．求的解析式和值．

例18．0≤≤1,=,的最小值为．

用表示；〔2〕求的最大值及此时的值．

例19．一幢〔＞2〕层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳－1个人，现有－1个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分到达最小？

例20．方程，其中＞1，证明：方程的正根比1小，负根比－1大．

例21．假设抛物线与连接两点〔0，1〕，〔2，3〕的线段〔包括、两点〕有两个相异的交点，求的取值范围．

例22．：≥≥≥≥2，且＋＋≥，

求证：.

例23．定义在上的奇函数，当≥0时，=－．另一个函数=的定义域为[,],值域为[],其中≠,、≠0．在∈[,]上,=．问:是否存在实数,使集合{恰含有两个元素?

4．函数迭代

例24．设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}。

①求证：A?B；②如果A={－1,3}，求B。

例25．f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有以下两式成立：

①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。

假设g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。

例26．研究函数f(x)=eq\r(1－sinx)+eq\r(1＋sinx)的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，并在此根底上，作出其在的草图．

5．代数方程

例27．设m?R，关于x的方程(a＞0且a≠1)有几个实根？证明你的结论．

例28．解方程：lg2x-[lgx]-2=0(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)

6．周期函数

例29．假设f(X)是在集M上以T为最小正周期的周期函数那么K*f(X)+C〔K≠0〕和1/f(X)分别是集M和集｛X/f(X)≠0，X｝上的以T为最小正周期的周期函数。

例30．假设f(X)是集M上以T为最小正周期的周期函数，那么f(aX+n)是集｛X/aX+b｝上的以T/为最小正周期的周期函数，〔其中a、b为常数〕。

例31．设f(u)是定义在集M上的函数u=g〔x〕是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，那么复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

7．三角函数

例32．圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。

例33．，且，求cos(x+2y)的值。

例34．