线性参数的最小二乘.ppt

**第5章线性参数的最小二乘处理第一节最小二乘原理最小二乘原理等精度测量线性参数的最小二乘原理不等精度测量线性参数的最小二乘原理第二节正规方程线性参数的最小二乘处理的正规方程非线性参数的最小二乘处理的正规方程最小二乘原理和算术平均值原理的关系第三节精度估计测量数据的精度估计最小二乘估计量的精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理参数的最可信赖估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。这种方法可以妥善解决参数的最可信赖估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析等一系列数据处理问题。01在物理实验中，经常遇到已知变量间有密切的关系，但其具体的函数形式及公式中所用参数的具体数值，则要通过实际测量来确定的情况。如已知某种电阻其阻值与温度有关，则需要测出一系列不同温度下的阻值，然后对这一组数据用最小二乘法进行相应的处理，得出函数关系中参数的最佳估计值。02引入直接测量量：待测量（难以直接测量）：问题：如何根据和测量方程解得待测量X的估计值？第一节最小二乘原理1直接求得。2有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求。5最可信赖值应使残余误差平方和最小。4最小二乘原理：3讨论：1设直接测量量的估计值为，则有3残差方程式2由此得测量数据的残余误差二、最小二乘原理由概率乘法定理可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为若不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为，则分别出现在相应真值附近区域内的概率为测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小等精度测量的最小二乘原理：1最小2不等精度测量的最小二乘原理：3最小4最小二乘原理（其他分布也适用）：5测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。6最小701线性参数的测量方程和相应的估计量为：02残差方程为三、等精度测量的线性参数最小二乘原理AB则残差方程的矩阵表达式为令残差方程为令则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：最小权矩阵01不等精度测量的线性参数最小二乘原理02思路一：不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：03等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：思路二：不等精度等精度01则有：02思路一：等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程02正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组01第二节正规方程则可得：用高斯符号表示有：同理有：*上式中各二阶偏导数恒为正，即：所以，上式求得的极值是极小值，满足最小二乘条件。等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程t元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得待求的估计量。因而,估计量方程可最终写成对于线性参数的正规方程，利用矩阵处理比较方便。现将正规方程组中第r个方程展开：正规方程组可写成：写为矩阵形式为：即：这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。01将代入到中，得02（待测量Ｘ的无偏估计）所解得的数学期望为：若A的秩等于t，那么必定有唯一的解：由此可见，是的无偏估计。是变量的真值向量是被估计参数的真值向量其中假定：无系统误差存在逆矩阵存在例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为获得０℃时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出误差方程令为两个待估参量，则误差方程为01则有：02那么：按照最小二乘的矩阵形式计算**