上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷.docxVIP

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上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，集合，则.

2．已知复数，则.

3．设，，若，则的最大值为.

4．记等差数列的前项和为，若，则.

5．的二项展开式中x项的系数为.

6．现有如下个数据：，则这批数据的第百分位数为.

7．设，已知，若，则t的取值范围为.

8．已知为等腰三角形，且，则.

9．袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率.

10．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是．

11．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则秒.

12．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是.

二、单选题

13．“”是“”的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．已知等比数列的前项和为，若，则（????）

A．为递减数列 B．为递增数列

C．数列有最小项 D．数列有最大项

15．在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则：

①；②平面；③三棱锥的体积是定值；

上述命题中正确的个数是（???）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

16．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（???）

A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，.

(1)求证：平面PBD；

(2)若，求平面PAB与平面PBD所成锐二面角的余弦值.

18．已知，，且函数的最小正周期为.

(1)求的值；

(2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围.

19．某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？

(2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题.

已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由.

附：若，则，，.

20．在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点.

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）求的最大值．

21．设定义域为的函数，对于，定义.

(1)若，求；

(2)若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”.

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