2025年高考数学第二轮复习(通用版)专项训练9导数与不等式证明(学生版+解析).docxVIP

2025二轮复习专项训练9

导数与不等式证明

[考情分析]导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．

【练前疑难讲解】

一、单变量函数不等式的证明

用导数证明不等式一般有以下方法

(1)构造函数法．

(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．

(3)分成两个函数进行研究．

(4)利用图象的特点证明不等式．

(5)利用放缩法证明不等式．

二、双变量函数不等式的证明

破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果．

一、单选题

1．（2023·福建·模拟预测）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2025·广东·模拟预测）记函数在区间的极值点分别为，，函数的极值点分别为，，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（????）

A． B． C． D．9

三、填空题

5．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是.

6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为.

四、解答题

7．（2024·山东济南·二模）已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)证明：.

8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．

【基础保分训练】

一、单选题

1．（2021·全国·模拟预测）已知且且且，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（????）

A． B．

C． D．

3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知，，且则以下正确的是（????）

A． B．

C． D．

5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（????）

A． B． C． D．1

三、填空题

6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=．

7．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是．

四、解答题

8．（2024·北京石景山·一模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值与最小值；

(3)当时，求证：．

9．（2022·广东广州·一模）已知函数，为的导数.

(1)证明：当时，；

(2)设，证明：有且仅有2个零点.

10．（2025·全国·模拟预测）设函数

(1)分析的单调性和极值；

(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；

(3)若，且满足时，证明：.

11．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．

【能力提升训练】

一、单选题

1．（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（????）

A． B． C． D．

2．（2023·福建福州·模拟预测），则（????）

A． B．

C． D．

3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（????）

A． B．1 C． D．

二、多选题

4．（2022·全国·模拟预测）已知a，，满足，则（????）

A． B． C． D．

5．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（????）

A． B．

C． D．

6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（????）

A．

B．函数有最大值

C．若，则

D．若，且，则

三、填空题

7．（2023·浙江温州·二模）已知函数，则的最小值是；若关于的方程有个实数解，则实数的取值范围是.

8．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是.

①存在，使得；

②存在，使得；

③存在常数，使得恒成立；

④