2025高考数学二轮专题复习专题二 三角函数与解三角形微拓展2奔驰定理和四心问题 .docxVIP

微拓展2奔驰定理和四心问题

[考情分析]奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大.

考点一奔驰定理

奔驰定理：

如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.

例1(1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△

A.5倍 B.4倍

C.3倍 D.2倍

(2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设AO=λAB+μAC，则实数λ和

A.29，

C.19，

[规律方法]已知P为△ABC内一点，且xPA+yPB+zPC=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y

(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|；

(2)S△

跟踪演练1(1)已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，且S△AOB

A.2 B.3

C.4 D.5

(2)已知点P，Q在△ABC内，PA+2PB+3PC=2QA+3QB

考点二奔驰定理与三角形四心

已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：

①若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0?S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶

②若O为△ABC的外心，则sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·

③若O为△ABC的内心，则a·OA+b·OB+c·OC=0，或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=

④若O为△ABC的垂心，则tanA·OA+tanB·OB+tan

考向1奔驰定理与重心

例2已知O是△ABC的重心，AB·AC=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为(

A.33 B.3

C.32 D.

考向2奔驰定理与外心

例3已知点P是△ABC的外心，且PA+PB+λPC=0，C=5π12

考向3奔驰定理与内心

例4已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2OA+2OB+3OC=0，则△ABC

考向4奔驰定理与垂心

例5已知H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若HA+2HB+3HC=0，则A

[易错提醒]涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.

跟踪演练2(多选)(2024·通化模拟)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA+SB·MB+SC

A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC·MA+AC

C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=2∶3∶1

D.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos

1.(2024·安庆模拟)设O点在△ABC内部，且有3OA+2OB+OC=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为

A.2 B.3

C.2 D.3

2.设I为△ABC的内心，且2IA+3IB+7IC=0，则角C

A.π6 B.π

C.2π3 D.

3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=213，则△BGC的面积为()

A.123 B.83

C.43 D.4

4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若AO=λAB+μBC，则3λ+6

A.1 B.2

C.3 D.7

5.已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=

A.196 B.3

C.53 D.

6.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·OA+S2·OB+S3·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2

A.31010 B.

C.255

7.(多选)(2024·保定模拟)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为