函数的零点与方程的解课件-高一上学期数学人教A版(1).pptx

函数的零点与方程的解

探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数零点不是一个点

方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0.....xyO－132112543y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点O.....yx－12112xy－132112－1－2－3－4....0.

方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象判别式Δ=b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2

一般结论一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

方程f(x)=0的根是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.结论方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点

由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y=f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标.零点是对于函数而言，根是对于方程而言．

哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？（1）（2）

如何求函数的零点？1234512345xyO-1-2-1-4-3-2观察二次函数图像f(x)=x2-2x-3的图像，如图，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点。计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]是否也有这种特点？

观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．x=－1－45x=3123451234xO-2-1-4-3-2-15y

思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,d]上存在零点？xyOabcd

有有有①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点；②在区间(b,c)上,f(b)·f(c)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点；有xyOabcd

xyOabc【提升总结】如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。零点的存在性定理：

例1函数f(x)=x(x－4)的零点为（）A．(0，0)，(2，0) B．0C．(4，0)，(0，0)， D．4，0D由x(x－4)=0得x=0或x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点.探究：如何求函数的零点？

例2判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）

解：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）如图,函数y=f(x)